Question

Нужно с дано и рисунком : 1. В треугольник вписана окружность так, что три из шести получившихся отрезков касательных равны 2см, 4см, 6см. Найдите периметр треугольника. 2. Хорды АВ и СD пересекаются в точке Е так, что АЕ=3см, ВЕ=36 см, СЕ:DE=3:4. Найдите величину хорды CD. 3. Точки А и В делят окружность с центром О на дуги АМВ и АСВ так, что дуга АСВ на 80 0 меньше дуги АМВ, АМ – диаметр окружности. Найдите величины углов АМВ, АВМ, АСВ.

Answer 1

Задача 1 (рисунок 1).

1) МВ и КВ, МА и ТА, КС и ТС - отрезки касательных, проведённых из одной точки. Они равны по свойству касательных. Следовательно, треугольник АВС разбивается на три пары равных (попарно) отрезков.

PΔАВС=2*2+4*2+6*2=24см.

Задача 2 (рисунок 2).

3:4=3х+4х

По теореме о пересекающихся хордах:

36*3=3х*4х

108=12х²

х=3.

CD=3*7=21см.

Задача 3 (рисунок 3).

Сначала ищем градусную меру дуг АМВ и АСВ.

Если 2 дуги, на которые делит окружность любая хорда, вместе равны 360°, то:

(360-80):2=140° - дуга АСВ.

Тогда дуга АМВ = 140+80=220°. (в сумме 360).

Дальше пользуемся свойствами вписанных и центральных углов:

1) ∠АСВ=150°, ∠АОВ=210° (центральные ∠).

2) ∠АМВ=половине АОВ=75°, ∠АВМ=половине АОМ=90°,

3)∠АСВ=половине АМВ=105° (вписанные углы).

Ответ: 210° - ∠АМВ, 90° - ∠АВМ, 105° - ∠АСВ.

Answer 2

К сожалению, я не могу отобразить рисунки, так как ограничен только текстовым ответом. Однако, я могу помочь вам решить данные геометрические задачи.

1. Периметр треугольника можно найти, используя радиусы вписанной окружности и касательных. Обозначим радиус вписанной окружности как "r". Так как три касательные к окружности равны 2 см, 4 см и 6 см, соответственно, то получаем систему уравнений:

r + r = 2, r + r = 4, r + r = 6.

Решая эту систему, мы находим r = 1 см.

Так как радиус вписанной окружности соотносится с сторонами треугольника пропорционально, можно использовать теорему о радиусе вписанной окружности для треугольника:

Площадь треугольника (S) = полупериметр (p) * радиус вписанной окружности (r). S = p * r.

Также известно, что площадь треугольника можно выразить через его стороны a, b и c:

S = √(p * (p - a) * (p - b) * (p - c)),

где p = (a + b + c) / 2.

Сравнив эти два выражения для площади треугольника, получаем:

p * r = √(p * (p - a) * (p - b) * (p - c)).

Подставляем значения сторон (2см, 4см, 6см) и радиуса (1см):

p * 1 = √(p * (p - 2) * (p - 4) * (p - 6)).

Решаем это уравнение для p, который будет полупериметром треугольника.

2. Для нахождения длины хорды CD воспользуемся теоремой о пересекающихся хордах. У нас есть следующие соотношения:

AE * BE = CE * DE.

Подставляем известные значения:

3 * 36 = (3 + 4) * DE.

Отсюда находим значение DE:

DE = 27 см.

3. Угол между хордами, проходящими через одну и ту же точку на окружности, равен половине разницы дуг, соответствующих этим хордам. По условию, дуга ASV на 80 градусов меньше дуги AMV. Пусть угол AMV равен α, тогда угол ASV равен α - 80.

Сумма углов в центральной и окружной дуге равна 360 градусов. Так как AM является диаметром, угол AMV равен 90 градусов (половина от 180). Следовательно:

α + (α - 80) + 90 = 360.

Решая это уравнение, находим α = 125 градусов.

Теперь, чтобы найти углы AMV, AVM и ASV, используем найденные значения:

Угол AMV = α = 125 градусов. Угол AVM = 180 - α = 55 градусов. Угол ASV = α - 80 = 45 градусов.