Question

Докажи, что четырёхугольник ABCD является прямоугольником, найди его площадь, если A(13;1), B(22;4), C(19;13) и D(10;10).

Answer 1

Ответ:

А13 В88 С247 D100 площади А В С и D

Answer 2

Для доказательства того, что четырёхугольник ABCD является прямоугольником, нужно показать, что противоположные стороны его перпендикулярны и имеют равные длины.

1. Проверим, являются ли стороны AB и CD перпендикулярными друг другу: Для этого вычислим вектора AB и CD, а затем найдем их скалярное произведение. Если скалярное произведение равно нулю, это означает, что векторы перпендикулярны:

Вектор AB: AB = (22 - 13, 4 - 1) = (9, 3) Вектор CD: CD = (10 - 19, 10 - 13) = (-9, -3)

Теперь найдем скалярное произведение: AB * CD = 9 * (-9) + 3 * (-3) = -81 - 9 = -90

Так как AB * CD ≠ 0, стороны AB и CD не перпендикулярны, а значит, четырёхугольник ABCD не является прямоугольником.

2. Проверим, являются ли стороны BC и AD перпендикулярными друг другу: Для этого также вычислим векторы BC и AD и найдем их скалярное произведение:

Вектор BC: BC = (19 - 22, 13 - 4) = (-3, 9) Вектор AD: AD = (10 - 13, 10 - 1) = (-3, 9)

Теперь найдем скалярное произведение: BC * AD = (-3) * (-3) + 9 * 9 = 9 + 81 = 90

Так как BC * AD ≠ 0, стороны BC и AD не перпендикулярны, а значит, четырёхугольник ABCD также не является прямоугольником.

Таким образом, четырёхугольник ABCD не является прямоугольником.

Теперь найдем площадь четырёхугольника ABCD. Для этого воспользуемся формулой площади четырёхугольника, заданного координатами его вершин:

Площадь ABCD = |(Ax(By - Cy) + Bx(Cy - Ay) + Cx(Ay - By) + Dx(By - Ay))| / 2

Где (Ax, Ay), (Bx, By), (Cx, Cy) и (Dx, Dy) - координаты вершин A, B, C и D соответственно.

Подставим значения координат вершин:

Площадь ABCD = |(13(4 - 13) + 22(13 - 1) + 19(1 - 4) + 10(4 - 1))| / 2 = |(13(-9) + 22(12) + 19(-3) + 10(3))| / 2 = |(-117 + 264 - 57 + 30)| / 2 = |120| / 2 = 60 квадратных единиц.

Таким образом, площадь четырёхугольника ABCD составляет 60 квадратных единиц.