Question

Дана четырёхугольная пирамида SABCD с прямоугольником ABCD в основании. Сторона AB равна 3 , а BC равна 6. Вершина пирамиды проектируется в точку пересечения диагоналей прямоугольника. Из вершин A и C на ребро SB опущены перпендикуляры AP и CQ. а) Докажите, что точка P является серединой отрезка BQ. б) Найдите угол между плоскостями SBA и SBC, если ребро SD равно 9.

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

а) т. к. S проектируется в центр, то пусть

$AS=BS=CS=DS=x$

По теореме косинусов в треугольнике ABS:

$AB^2=AS^2+SB^2-2AS*SB*cosASB$,

откуда следует, что

$cosASB=\frac{x^2-9}{x^2} =1-\frac{9}{x^2}$

B прямоугольном Δ ASP:

$cosASB=\frac{x-PB}{x} =1-\frac{PB}{x}$, тогда:

$1-\frac{PB}{x} =1-\frac{9}{x^2}\Rightarrow PB=\frac{9}{x}$

Аналогично из ΔBCS и прямоугольного ΔCQS находим:

$QB=\frac{18}{x} .$

Значит QB=2PB, а так как точка В у отрезков общая и они лежат на одной линии, то т. P - середина BQ.  

б) Если ребро SD равно 9, то х=9 и

$PB=\frac{9}{9} =1, QB=\frac{18}{9} =2.$

Угол между плоскостями — это угол между перпендикулярами к линии их пересечения, проведенными в этих плоскостях. Такие перпендикуляры у нас уже есть, но для дальнейшего решения, нужно чтобы они сходились к одной точке.

Для этого проведем PC' параллельно QC, C' принадлежит BC, тогда угол APC' — искомый. Поскольку PC' параллелен QC и P — середина QB, то PC' — средняя линия, тогда

$PC'=\frac{1}{2} QC, CC'=\frac{1}{2}BC=3.$

В ΔCBQ: ∠Q — прямой, $QC=\sqrt{CB^2-QB^2}=\sqrt{36-4} =\sqrt{32}$ ,

тогда  $PC'=\frac{\sqrt{32} }{2} =\sqrt{8} .$

В ΔAPB: ∠P — прямой, $AP=\sqrt{AB^2-PB^2}=\sqrt{18-1} =\sqrt{17}.$

В ΔABC': ∠B — прямой,  $AC'=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{18+9} =\sqrt{27}.$

По теореме косинусов в ΔAPC':

$AC'^{2} =AP^2+PC'^2-2AP*PC'*cosAPC' \Rightarrow cosAPC'=-\frac{1}{\sqrt{136}} .$

Тогда угол между плоскостями SBA и SBC равен  

$arccos(-\frac{1}{\sqrt{136} })$

Такой угол больше 90°. А т.к. угол между плоскостями не может превышать 90°, то нам нужен арккосинус смежного угла. Поэтому правильный ответ это:

$arccos\frac{1}{\sqrt{136} }$

Answer 2

Для доказательства того, что точка P является серединой отрезка BQ, рассмотрим следующую конструкцию:

Проведем диагонали AC и BD прямоугольника ABCD. Поскольку ABCD является прямоугольником, диагонали пересекаются в его центре O.

Также обратим внимание, что так как прямоугольник ABCD находится в основании пирамиды, его диагонали являются перпендикулярными диагоналями пирамиды SABCD.

Теперь обратим внимание на треугольник AOB. Поскольку AO и BO - это медианы треугольника ABC, и O - центр прямоугольника, то AO и BO делятся O пополам, и точка P, которая находится на SB, также делит BQ пополам.

Таким образом, точка P действительно является серединой отрезка BQ.

Теперь перейдем ко второй части задачи и найдем угол между плоскостями SBA и SBC.

Обозначим угол между плоскостью SBA и SBC как α.

Из условия задачи известно, что ребро SD равно 9, и прямоугольник ABCD является прямоугольником со сторонами AB = 3 и BC = 6.

Рассмотрим треугольник SDC. По теореме Пифагора:

SD^2 = SC^2 + DC^2

9^2 = SC^2 + 6^2

81 = SC^2 + 36

SC^2 = 81 - 36

SC^2 = 45

SC = √45 = 3√5

Теперь рассмотрим треугольник SAB. Для того чтобы найти угол α, воспользуемся косинусной теоремой:

cos(α) = (AB^2 + AS^2 - SB^2) / (2 * AB * AS)

У нас есть AB = 3 и SB = SC + CB = 3√5 + 6. Осталось найти AS.

Для этого рассмотрим треугольник SAC. По теореме Пифагора:

AS^2 = SC^2 + AC^2

AS^2 = (3√5)^2 + 3^2

AS^2 = 45 + 9

AS^2 = 54

AS = √54 = 3√6

Теперь можем найти cos(α):

cos(α) = (3^2 + (3√6)^2 - (3√5 + 6)^2) / (2 * 3 * 3√6)

cos(α) = (9 + 54 - (45 + 36√5 + 36)) / (6√6)

cos(α) = (63 - 81 - 36√5) / (6√6)

cos(α) = (-18 - 36√5) / (6√6)

cos(α) = -3 - 6√5

Таким образом, угол α между плоскостями SBA и SBC равен arccos(-3 - 6√5).