Question

Основанием четырёхугольной пирамиды SABCD является прямоугольник ABCD, где АВ=2корня из 3, ВС = 2 корня из 6. Основание пирамиды - это центр прямоугольника. Из вершин А и С опущены перпендикуляры АР и CQ к ребру SB. 1. Докажите, что P - середина отрезка BQ 2. Найдите угол между гранями SBA и SBC, если SD = 6

Answer 1

Основанием четырёхугольной пирамиды SABCD является прямоугольник ABCD, где AB = 2√3, BC = 2√6. Основание высоты пирамиды - это центр прямоугольника. Из вершин А и С опущены перпендикуляры АР и CQ к ребру SB.
1. Докажите, что P - середина отрезка BQ
2. Найдите угол между гранями SBA и SBC, если SD = 6
 
Боковые ребра пирамиды равны (так как вершина проецируется в центр основания).
Значит АS=BS=CS=DS=6.
Грани - равнобедренные треугольники.
а) Рассмотрим равнобедренный треугольник АSВ. В нем высота SH1, опущенная на основание AB по Пифагору равна SH1=√(SA²-AH1²)= √33.
Соответственно, площадь грани АSB равна Sasb=(1/2)*AB*SH1=√99.
Тогда АМ (высота к боковой стороне BS) равна АP=2Sasb/SB или
АP=2√99/6=√99/3. МВ по Пифагору равно PВ=√(АВ²-АP²) или
PВ=√(12-99/9)=√(9/9)=1.
Точно также в треугольнике ВSC имеем:
SH2=√(36-6)=√30.
Sbsc=(1/2)*BC*SH2=√6*√30=6√5.
CQ=2Sbsc/SC или CQ=2√5. Тогда
BQ=√(BC²-CQ²) или BQ=√(24-20)=√4=2.
Итак, доказано, что BQ=2*BP, то есть точка P - середина BQ.

б) Двугранные углы измеряются линейным углом, то есть углом, образованным пересечением двугранного угла с плоскостью, перпендикулярной к его ребру. Таким образом, чтобы измерить двугранный угол, можно взять любую точку на его ребре и
перпендикулярно ребру провести из неё лучи в каждую из граней.
Возьмем на ребре BS точку Р и проведем из нее в гранях ASB и CSB
перпендикуляры. Один из них нам уже знаком - это отрезок АP. Второй - отрезок РK, который будет параллелен отрезку СQ и равен его половине (так как PK - средняя линия треугольника BQC, поскольку точка P  - середина отрезка BQ - доказано выше). По Пифагору АK=√(АВ²+ВK²) или АK=√(12+6)=3√2.
Тогда по теореме косинусов искомый угол АPK равен:
Cosα = (b²+c²-a²)/2bc. Или
Cosα = (АP²+PK²-AK²)/2*АP*PK.
Cosα = (99/9+5-18)/(2*(√99/3)*(√5))=-2/81,97=-0,135.
Мскомый угол равен arccos(-0,135) или α≈97,76°.

Answer 2

Для начала, давайте разберемся с первым утверждением и докажем, что точка P является серединой отрезка BQ.

Доказательство: P - середина отрезка BQ

Поскольку прямоугольник ABCD является основанием пирамиды SABCD, то AC является диагональю этого прямоугольника и проходит через его центр. Также, по условию, перпендикуляры АР и СQ опущены из вершин А и С соответственно к ребру SB.

Так как P - точка пересечения перпендикуляров АР и СQ, она лежит на отрезке AC. Если мы докажем, что P делит отрезок BQ пополам, то это будет означать, что P является его серединой.

Пусть точка M - середина отрезка BQ. Нам нужно доказать, что P и M совпадают.

Так как АР и СQ - перпендикуляры, они взаимно перпендикулярны ребру SB. Это означает, что угол SPQ является прямым углом.

Рассмотрим треугольники SPQ и SBQ.

Так как SPQ и SBQ имеют общую сторону SQ и угол SPQ является прямым, а угол SBQ прямым углом (так как SQ перпендикулярно SB), у них есть два равных угла - угол SPQ и угол SBQ. Таким образом, треугольники SPQ и SBQ являются подобными по признаку "прямоугольный треугольник с равным прямым углом".

Теорема подобия треугольников: Если два треугольника имеют по два равных угла, то эти треугольники подобны.

Поэтому, соотношение длин сторон SP и SB равно соотношению длин сторон PQ и BQ.

Теперь рассмотрим треугольники SBQ и AMQ.

Так как SBQ и AMQ имеют общую сторону MQ и угол SBQ является прямым, а угол AMQ прямым углом (так как MQ перпендикулярно AM), у них есть два равных угла - угол SBQ и угол AMQ. Таким образом, треугольники SBQ и AMQ являются подобными по признаку "прямоугольный треугольник с равным прямым углом".

Поэтому, соотношение длин сторон SB и AM равно соотношению длин сторон BQ и MQ.

Из подобия треугольников SBQ и AMQ мы получаем:

SB/AM = BQ/MQ

Также, из подобия треугольников SPQ и SBQ мы получаем:

SP/SB = PQ/BQ

Заметим, что SP = AM (так как AM является высотой прямоугольника ABCD, а SP - высотой пирамиды SABCD).

Тогда, заменим SP на AM и SB на AM во втором уравнении:

AM/AM = PQ/BQ

Упрощаем:

1 = PQ/BQ

Отсюда следует, что PQ = BQ.

Таким образом, мы доказали, что точка P является серединой отрезка BQ.

Найдите угол между гранями SBA и SBC, если SD = 6

Для нахождения угла между гранями SBA и SBC нам необходимо знать длины сторон треугольника SBC.

Известно, что SD = 6. Поскольку SABCD - пирамида, то SB является высотой этой пирамиды. Также, по условию, перпендикуляры АР и СQ опущены из вершин А и С соответственно к ребру SB. Это означает, что треугольник SBC является прямоугольным треугольником с гипотенузой SB и катетами SC и BC.

Мы знаем, что SD = 6, поэтому катет SC равен половине диагонали прямоугольника ABCD.

Диагональ прямоугольника ABCD равна AB = 2√3.

Таким образом, SC = 1/2 * AB = √3.

Теперь у нас есть все стороны треугольника SBC. Мы можем использовать теорему косинусов, чтобы найти угол между гранями SBA и SBC.

Теорема косинусов гласит:

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cos(C)

Где c - гипотенуза треугольника, a и b - катеты, а C - угол между катетами.

Применим эту формулу для треугольника SBC:

SB^2 = SC^2 + BC^2 - 2 * SC * BC * cos(BCS)

SB = 2√3 (по условию)

SC = √3 (получено выше)

BC - неизвестная сторона

BCS - искомый угол между гранями SBA и SBC

Подставим известные значения в формулу:

(2√3)^2 = (√3)^2 + BC^2 - 2 * √3 * BC * cos(BCS)

12 = 3 + BC^2 - 2√3 * BC * cos(BCS)

BC^2 - 2√3 * BC * cos(BCS) = 9

BC * (BC - 2√3 * cos(BCS)) = 9

Так как мы не знаем значение BC или BCS, мы не можем решить это уравнение напрямую. Однако, мы можем использовать информацию о прямоугольнике ABCD для дальнейшего рассуждения.

Прямоугольник ABCD имеет стороны AB = 2√3 и BC = 2√6. Мы можем использовать это, чтобы найти отношение между BC и AB.

BC/AB = (2√6)/(2√3) = √(6/3) = √2

Из прямоугольника ABCD следует, что угол ABC равен 90 градусов.

Рассмотрим треугольник ABC. У него есть стороны AB, BC и угол ABC. Мы можем использовать синус этого угла, чтобы найти отношение между BC и AB.

sin(ABC) = BC/AB

sin(90) = 2√6/2√3

1 = √2

Таким образом, мы получили, что sin(90) = 1 = √2.

Мы знаем, что sin(90) = 1, поэтому √2 = 1.

Теперь мы можем вернуться к уравнению:

BC * (BC - 2√3 * cos(BCS)) = 9

BC * (BC - 2√