Question

Вычислите радиус круга, если площадь его проекции на плоскость равна 157 см^2, а угол между плоскостью круга и данной плоскостью 60°

Answer 1

Площадь ортогональной проекции плоской фигуры на плоскость есть произведение площади самой фигуры на косинус угла между плоскостью фигуры и плоскостью проекции.

    $S' = S\cdot cos \varphi$

Выразим из формулы площадь круга

    $S = \frac{S'}{cos \varphi}$

Формула площади круга через радиус:

    $S = \pi R^2$

Приравняем уравнения и выразим из пропорции радиус:

    $\frac{S'}{cos \varphi} = \pi R^2\\\\S' = \pi R^2cos \varphi\\\\R^2 = \frac{S'}{\pi cos \varphi} \\R = \sqrt{\frac{S'}{\pi cos \varphi}} \\R = \sqrt{\frac{157}{ \frac{1}{2}\pi }} = \sqrt{\frac{157\cdot 2}{\pi}} = \sqrt{\frac{314}{\pi} } \approx \sqrt{\frac{314}{ 3,14 } } \approx \sqrt{100} \approx 10 \:\: (cm)$

Ответ: Радиус круга равен 10 см (приблизительно).

Answer 2

Чтобы вычислить радиус круга, необходимо знать площадь его проекции на плоскость и угол между плоскостью круга и данной плоскостью.

Пусть R - радиус круга, а A - площадь его проекции на плоскость. Также у нас есть угол между плоскостью круга и данной плоскостью, равный 60°.

Площадь проекции круга на плоскость представляет собой круг с радиусом r, который лежит на этой плоскости. Отношение площадей круга и его проекции на плоскость равно отношению смежных сторон соответствующих треугольников:

$\frac{A}{\pi R^2} = \cos(60°) = \frac{1}{2}.$

Теперь, чтобы вычислить радиус круга R, перенесем $R^2$ на одну сторону уравнения:

$R^2 = \frac{A}{\pi} \times \frac{2}{1} = \frac{2A}{\pi}.$

И окончательно найдем радиус круга R:

$R = \sqrt{\frac{2A}{\pi}} = \sqrt{\frac{2 \times 157\, \text{см}^2}{\pi}} \approx \sqrt{\frac{314\, \text{см}^2}{3.14159}} \approx \sqrt{100} \approx 10\, \text{см}.$

Таким образом, радиус круга составляет около 10 см.