Question

В остроугольном треугольнике ABC провели высоту BH, биссектрису BL и медиану BM (H лежит между A и L). Оказалось, что AH=HL=LM. Найдите AC^2:BC^2

Answer 1

Взаимное расположение высоты, биссектрисы, медианы.

BH<BL<BM, L лежит между H и M

AH=HL, BH - высота и медиана => ABL - равнобедренный, AB=BL

AH=HL=LM=x, AM=MC=3x

AB/BC =AL/LC =2x/4x =1/2 (теорема о биссектрисе)  

AB=BL=y, BC=2y

BL^2 =AB*BC -AL*LC (формула биссектрисы)

y^2 =2y^2 -8x^2 => x^2/y^2 =1/8

AC^2/BC^2 =(6x)^2/(2y)^2 =36/4 *1/8 =9/8

Answer 2

Давайте обозначим длины сторон треугольника ABC следующим образом: AC = a, BC = b, AB = c.

Известно, что треугольник ABC остроугольный, поэтому угол в вершине B острый, и BH является высотой.

Также дано, что AH = HL = LM. Это означает, что точка H делит сторону AC на три равные части: AH = HL = LM = a/3. Также, так как H является основанием высоты, BL - биссектриса, а M - медиана, то мы можем использовать свойства остроугольных треугольников.

Из свойств биссектрисы: AB/BL = AC/CL c/BL = a/2a/2 c/BL = 1 BL = c.

Из свойств медианы: BM/MC = AB/AC c/MC = c/a MC = a.

Теперь у нас есть длины сторон треугольника: AB = c, BL = c и MC = a.

Теперь рассмотрим треугольник BHL. Мы знаем, что это прямоугольный треугольник, так как BH - высота. Из теоремы Пифагора:

BH^2 + BL^2 = HL^2 BH^2 + c^2 = (a/3)^2 BH^2 = (a^2/9) - c^2.

Из треугольника BLM, мы также можем воспользоваться теоремой Пифагора:

BL^2 + LM^2 = BM^2 c^2 + (2a/3)^2 = (c^2 + a^2)/4 4c^2 + 4a^2/9 = c^2 + a^2 3c^2 = 5a^2/9.

Теперь, чтобы найти AC^2/BC^2, давайте подставим выражения для BH^2 и 3c^2 в это отношение:

AC^2/BC^2 = (AC^2)/(AC^2 - BH^2) AC^2/BC^2 = 1/(1 - BH^2/AC^2) AC^2/BC^2 = 1/(1 - (a^2/9)/(9a^2/9)) AC^2/BC^2 = 1/(1 - 1/9) AC^2/BC^2 = 9/8.

Итак, AC^2/BC^2 = 9/8.