Question

Помогите с геометрией 8 класс пожалуйста! Дана окружность (О; ОС). Из точки М, которая находится вне окружности, проведена секущая МВ и касательная МС. ОD - перпендикуляр, проведённый из центра окружности к секущей МВ и равный 5 см. Найдите радиус окружности, если известно, что МВ=25 см и МС=5 см. Заранее спасибо!

Answer 1

Обозначим вторую точку пересечения секущей с окружностью – К. 

Если из одной точки проведены к окружности касательная и секущая, то произведение всей секущей на её внешнюю часть равно квадрату касательной. 

СМ²=МВ•MK

25=25•MK ⇒ МК=1

ВК=25-1=24 см

 ОК=ОВ – радиусы к точкам пересечения секущей и окружности. 

∆ КОВ - равнобедренный, OD⊥KB ⇒OD - медиана и высота. 

КD=24:2=12 

Из ∆ OKD  по т.Пифагора

OK²=KD²+OD² ⇒OK=√(144+81)

OK=R=√225=15 см

Answer 2

Для решения данной задачи воспользуемся свойством перпендикуляра, проведённого из центра окружности к секущей. Перпендикуляр, проведённый из центра окружности к секущей, всегда является биссектрисой угла между секущей и касательной. Таким образом, у нас имеется прямоугольный треугольник OMD, где O - центр окружности, D - точка пересечения перпендикуляра и секущей, M - точка, через которую проведены секущая и касательная.

Из задачи известно, что OD = 5 см и МВ = 25 см. По условию, OМ является радиусом окружности, который нам нужно найти. Также, по свойству перпендикуляра, OD является половиной секущей, то есть OD = 1/2 * МВ.

Следовательно, OD = 1/2 * МВ = 1/2 * 25 см = 12.5 см.

Теперь, у нас есть две стороны прямоугольного треугольника OMD: OD = 12.5 см и OM (радиус окружности).

Мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения третьей стороны треугольника OMD:

OM^2 = OD^2 + MD^2,

где MD - вторая катет треугольника OMD.

Поскольку OD является высотой, проведённой к гипотенузе треугольника OMD, MD = MD = МС = 5 см.

Подставляя значения в формулу Пифагора, получаем:

OM^2 = 12.5^2 + 5^2 = 156.25 + 25 = 181.25.

Для того чтобы найти OM, возьмём квадратный корень из обеих сторон:

OM = √(181.25) ≈ 13.47 см.

Таким образом, радиус окружности, ОМ, составляет приблизительно 13.47 см.