Question

СРОЧНО!!!!!!!!!!!! Дана окружность (O;OC). Из точки M, которая находится вне окружности, проведена секущая MB и касательная MC.OD — перпендикуляр, проведённый из центра окружности к секущей MB и равный 9 см.Найди радиус окружности, если известно, что MB равен 25 см и MC равен 5 см.Ответ: радиус равен (целое число)

Answer 1

Обозначим вторую точку пересечения секущей с окружностью – К. 

Если из одной точки проведены к окружности касательная и секущая, то произведение всей секущей на её внешнюю часть равно квадрату касательной. 

СМ²=МВ•MK

25=25•MK ⇒ МК=1

ВК=25-1=24 см

 ОК=ОВ – радиусы к точкам пересечения секущей и окружности. 

∆ КОВ - равнобедренный, OD⊥KB ⇒OD - медиана и высота. 

КD=24:2=12 

Из ∆ OKD  по т.Пифагора

OK²=KD²+OD² ⇒OK=√(144+81)

OK=R=√225=15 см

Радиус равен 15 см

Answer 2

Давайте обозначим радиус окружности как $R$, центр как $O$, точку касания касательной $MC$ с окружностью как $T$, и точку пересечения $OD$ с $MB$ как $P$.

Известно, что $OD$ - перпендикуляр, проведенный из центра окружности $O$ к секущей $MB$, и его длина равна 9 см. Также известно, что $MC$ - касательная, и $MT$ - радиус окружности. Поэтому $OT = MT = R$.

Из прямоугольного треугольника $OPD$ мы можем использовать теорему Пифагора:

$(OP)^2 + (DP)^2 = (OD)^2$.

Подставляя известные значения, получаем:

$(R)^2 + (MT - MB)^2 = (9)^2$.

Используя факт, что $MT = R$, и подставляя значения $MB = 25$, получаем:

$R^2 + (R - 25)^2 = 81$.

Раскрывая скобки и упрощая, получаем:

$R^2 + R^2 - 50R + 625 = 81$,

$2R^2 - 50R + 544 = 0$.

Для решения этого квадратного уравнения, можно поделить все его коэффициенты на 2:

$R^2 - 25R + 272 = 0$.

Для нахождения целых решений, можно воспользоваться факторизацией или квадратным трехчленом:

$R^2 - 25R + 272 = (R - 17)(R - 16) = 0$.

Отсюда видно, что два возможных значения для радиуса: $R = 17$ и $R = 16$. Однако, так как точка $M$ находится вне окружности, радиус не может быть равен 16. Таким образом, радиус окружности равен 17 см.