Question

Высоты треугольника пересекаются в точке O. Величина угла ∡ BAC = 53°, величина угла ∡ ABC = 63°. Определи угол ∡ AOB. ∡ AOB = °.

Answer 1

Дан △АВС.

Проведём две высоты: AE и BD.

АЕ и BD ∩ = O, по условию.

Так как BD - высота ⇒ △ABD - прямоугольный.

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.

⇒ ∠ABD = 90˚ - ∠ВАС = 90° - 53° = 37˚

Так как АЕ - высота ⇒ △ВАЕ - прямоугольный.

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.

⇒ ∠ВАЕ = 90° - ∠АВС = 90° - 63° = 27°

Рассмотрим △АОВ:

Сумма внутренних углов треугольника равна 180°.

⇒ ∠АОВ = 180° - (∠ВАЕ + ∠АBD) = 180˚ - (27˚ + 37˚) = 116°

Ответ: 116°

Answer 2

Для определения угла ∡ AOB мы можем воспользоваться свойством пересекающихся высот в треугольнике.

В данном случае, высоты треугольника пересекаются в точке O, что означает, что точка O является ортоцентром треугольника ABC.

Свойство, которое нам понадобится, гласит: "Ортоцентр делит высоты треугольника пополам."

Поэтому, угол ∡ AOB будет равен половине суммы углов ∡ BAC и ∡ ABC:

∡ AOB = (∡ BAC + ∡ ABC) / 2 = (53° + 63°) / 2 = 116° / 2 = 58°

Таким образом, угол ∡ AOB равен 58°.