Question

Из точки K, взятой на биссектрисе угла ABC проведены перпендикуляры KA и KC к сторонам этого угла так, что угол AKC=120 градусов. Найдите BK, если AK=15 см. Ответ дайте в сантиметрах.

Answer 1

Ответ:

AK=30 см

Объяснение:

Answer 2

Мы имеем треугольник AKC, в котором известна сторона AK (15 см), а также угол AKC (120 градусов). Мы можем использовать закон синусов для нахождения стороны KC (противолежащей углу AKC):

$\frac{KC}{\sin(\angle AKC)} = \frac{AK}{\sin(\angle KAC)}.$

Угол KAC является половиной угла ABC (так как точка K лежит на биссектрисе угла ABC), а также половиной угла AKC (так как AKC - прямоугольный треугольник). Это означает, что $\angle KAC = \frac{1}{2} \angle ABC = \frac{1}{2} \cdot 120^\circ = 60^\circ$.

Теперь мы можем решить уравнение для KC:

$\frac{KC}{\sin(120^\circ)} = \frac{15}{\sin(60^\circ)}.$

Решая это уравнение, мы найдем длину стороны KC:

$KC = \frac{15 \cdot \sin(120^\circ)}{\sin(60^\circ)}.$

Теперь, чтобы найти BK, мы можем воспользоваться теоремой Пифагора в треугольнике BKC:

$BK^2 + KC^2 = BC^2.$

Учитывая, что угол BKC - это прямой угол (поскольку BK перпендикулярна KC), и используя известные значения KC и угла AKC (120 градусов), мы можем найти длину BC:

$BC = KC \cdot \tan(\angle BKC) = KC \cdot \tan(120^\circ) = KC \cdot \sqrt{3}.$

Теперь мы можем подставить это обратно в уравнение Пифагора:

$BK^2 + KC^2 = (KC \cdot \sqrt{3})^2.$

Решая это уравнение относительно BK, получим:

$BK^2 = (KC \cdot \sqrt{3})^2 - KC^2.$ $BK^2 = 3KC^2 - KC^2.$ $BK^2 = 2KC^2.$

И, наконец:

$BK = \sqrt{2} \cdot KC.$

Подставляя значение KC, полученное из первого уравнения, мы найдем значение BK:

$BK = \sqrt{2} \cdot \frac{15 \cdot \sin(120^\circ)}{\sin(60^\circ)}.$

Вычислив это выражение, вы получите длину стороны BK.