Question

Углы при одном основании трапеции равны 63° и 27°. Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон, равны 10 и 12. Найдите полупроизведение оснований этой трапеции. (Критерии оценивания: 1. Рисунок по условию задачи. 2. Обоснование фактов, в Вашем решении (даже очевидных, в этом случае пишите, например, что это какое-то свойство, признак и т.д) Замечание: принимаю решения только от тех людей, которые решили их разными способами. А их, как я выяснила, немало. (Имею ввиду, что если ответят два пользователя, то у двоих должны отличаться решения.) Жду ваших интересных и полных решений. ;)

Answer 1

Дано:

трапеция;

∠DAC = 63˚;

∠ACJ = 27˚;

D₂K = 10;

IJ = 12.

D₂К соединяет середины отрезков DE и AC.

IJ соединяет середины отрезков AD и EC.

Найти:

(AC * DE) * 1/2 = ?

Решение:

Пусть дана произвольная трапеция ADEC, где AC - большее основание (сумма углов при большем из оснований 63° + 27° = 90°), а DE - меньшее соответственно.

Продлим боковые стороны нашей произвольной трапеции до их пересечения. Обозначим пересечение точкой В.

Нетрудно заметить, что △ABC - прямоугольный (поскольку можно увидеть, что ∠DAC + ∠ACJ = 63˚ + 27° = 90° - сумма острых углов в прямоугольном треугольнике => ∠АВС прямой и равен 90°).

Обозначим середину большего из оснований произвольной трапеции, допустим, точкой К. Тогда из свойства, мы можем утверждать, что ВК - медиана прямоугольного △ABC.

Мы знаем, что медиана всегда делит отрезок, параллельный тому, к которому проведена медиана, на два равных, т.е. в данной ситуации она оба основания нашей трапеции делит пополам так, что AK = KC и DD₂ = D₂E.

Исходя из этих объяснений, запишем формулу для серединного отрезка к противоположным сторонам трапеции IJ.

IJ = 1/2 * (AC + DE).

D₂K = ВК - ВD₂. Известно, что ВК и ВD₂ медианы, проведённые из вершины прямого угла, которые по свойству медианы прямоугольного треугольника равны половине гипотенузы. То есть BK = AC * 1/2 (по свойству), соответственно BD₂ = DE * 1/2, откуда D₂K = 1/2 * (AC - DE).

Исходя из этого, мы можем сказать, что:

AC = D₂K + IJ = 10 + 12 = 22; DE = IJ - D₂K = 12 - 10 = 2.

Теперь остается найти полупроизведение этих оснований.

(AC * DE) * 1/2 = (22 * 2) * 1/2 = 44 * 1/2 = 44/2 = 22.

Ответ: (AC * DE) * 1/2 = 22.

Answer 2

Давайте рассмотрим трапецию ABCD, где AB и CD - основания, BC и AD - боковые стороны, и M и N - середины боковых сторон BC и AD соответственно. Для удобства, давайте обозначим угол B = 63° и угол C = 27°.

Первое решение:

1. Для начала, нарисуем данную трапецию с известными данными.
2. Заметим, что в параллелограмме AMCN диагонали MС и AN делятся пополам и пересекаются в точке O (центр параллелограмма).
3. Согласно свойству параллелограмма, противоположные стороны равны и параллельны. Значит, AM = CN и AN = CM.
4. По данной информации, мы можем записать два уравнения на основания трапеции: AM + MB = AB (1) CN + ND = CD (2)
5. Также, по свойству медианы в треугольнике, отрезок MO делит сторону AB пополам.
6. Рассмотрим треугольник BMO. Мы знаем длины сторон MO (половина BC, то есть 5) и BM (половина суммы оснований, то есть 1/2 * (AB + CD)). Теперь мы можем использовать закон косинусов: cos(BMO) = MO / BM cos(63°) = 5 / (1/2 * (AB + CD)) AB + CD = 10 / cos(63°) (3)
7. Аналогично, рассмотрим треугольник CNO и используем закон косинусов: cos(CNO) = NO / CN cos(27°) = 5 / (1/2 * (AB + CD)) AB + CD = 10 / cos(27°) (4)
8. Сравнивая уравнения (3) и (4), получаем: 10 / cos(63°) = 10 / cos(27°) cos(27°) = cos(63°) 27° = 63° (это невозможно)
9. Таким образом, мы пришли к противоречию, и наше первое предположение неверно.

Полупроизведение оснований нельзя определить на основе данной информации, так как она противоречива.

Это первое решение. Давайте рассмотрим второе:

1. Рассмотрим трапецию ABCD с известными данными.
2. Обозначим точку пересечения диагоналей как O.
3. Заметим, что AMNO - прямоугольник, так как диагонали MС и AN делят друг друга пополам и пересекаются под прямым углом.
4. Из данного прямоугольника следует, что AN = MO = 10/2 = 5 и CM = NO = 12/2 = 6.
5. Рассмотрим треугольник ABO. Мы знаем угол B = 63°, сторону AB = AN + NB = 5 + 6 = 11 и сторону BO = 10 (половина одной из диагоналей).
6. Мы можем использовать закон синусов для нахождения AO: sin(B) = AO / BO AO = BO * sin(B) = 10 * sin(63°)
7. Аналогично, рассмотрим треугольник CDO. Мы знаем угол C = 27°, сторону CD = CN + ND = 5 + 6 = 11 и сторону CO = 12 (половина другой диагонали).
8. Мы можем использовать закон синусов для нахождения DO: sin(C) = DO / CO DO = CO * sin(C) = 12 * sin(27°)
9. Полупроизведение оснований равно произведению AO и DO: AB * CD = AO * DO = 10 * sin(63°) * 12 * sin(27°)

Таким образом, второе решение позволяет определить полупроизведение оснований как 120 * sin(63°) * sin(27°).