Question

Дві сторони трикутника дорівнюють 3 см і 5 см, а відношення радіуса кола, описаного навколо трикутника до третьої сторони дорівнює 1 : корінь 3. Знайдіть третю сторону трикутника. Скільки розв'язків має задача?​

Answer 1

Ответ:

√19 cм  или  7 см

Задача имеет два решения.

Объяснение:

По следствию из теоремы синусов, отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно удвоенному радиусу описанной окружности:

$2R=\dfrac{a}{\sin\alpha }$         ⇒      $\sin\alpha =\dfrac{a}{2R}$

По условию:

$\dfrac{R}{a}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$       ⇒      $a=R\sqrt{3}$.

$\sin\alpha =\dfrac{R\sqrt{3}}{2R}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

Учитывая, что

$\sin\alpha =\sin(180^\circ -\alpha )$,

$\alpha=60^\circ$  или   $\alpha=120^\circ$

1) $\alpha=60^\circ$

$\cos60^\circ =\dfrac{1}{2}$

По теореме косинусов:

$a^2=b^2+c^2-2bc\cdot \cos\alpha$

$a^2=9+25-2\cdot 3\cdot 5\cdot \dfrac{1}{2}=34-15=19$

$\boldsymbol{a=\sqrt{19}}$  см

2)  $\alpha=120^\circ$

$cos120^\circ =-\dfrac{1}{2}$

По теореме косинусов:

$a^2=b^2+c^2-2bc\cdot \cos\alpha$

$a^2=9+25-2\cdot 3\cdot 5\cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right)=34+15=49$

a = 7  см

Answer 2

Давайте намалюємо цей трикутник і позначимо дані:

Дано:

1. Дві сторони трикутника: AB = 3 см, BC = 5 см.
2. Відношення радіуса кола, описаного навколо трикутника, до третьої сторони трикутника (AC) дорівнює 1 : корінь 3.

Нехай R - радіус цього описаного кола. Також, нам відомо, що в справжньому трикутнику відношення радіуса описаного кола до сторони дорівнює 2R/S, де S - площа трикутника, тобто:

1. R / AC = 1 / √3

Ми також можемо використовувати теорему синусів для знаходження сторони AC. Теорема синусів гласить:

sin(A) / a = sin(B) / b = sin(C) / c,

де A, B, C - кути трикутника, a, b, c - відповідні сторони трикутника, які лежать напроти цих кутів.

3. Синус кута між сторонами AB і BC дорівнює 1/√3, оскільки sin(30 градусів) = 1/2 = 1/√3, тобто sin(30 градусів) = BC / AC.

Звідси отримуємо рівняння:

2R / 5 = 1 / √3,

що можемо розв'язати для R:

R = (5/2) * (1 / √3).

Тепер ми можемо використовувати це значення R для знаходження сторони AC за допомогою теореми синусів:

sin(30 градусів) = BC / AC,

1/√3 = 5 / AC,

AC = 5 * √3.

Отже, третя сторона трикутника AC дорівнює 5 * √3 см.