Question

Дана правильная четырехугольная пирамида. Стороны основания равны х, а боковое ребро у. ВЫчислить объем этой пирамиды.

Answer 1

Дано:

Правильная четырёхугольная пирамида SABCD;

Сторона основания AD = $x$;

Боковое ребро SD = $y$.

Найти:

V = ?  

Решение:

$V=S\cdot\dfrac{h}{3}$

Поскольку в основании правильной четырёхугольной пирамиды лежит квадрат, то S основания = Ѕ квадрата = $x^2$

Вершина высоты правильной пирамиды проецируется в центр ее основания - здесь это точка пересечения диагоналей квадрата.

Высоту h пирамиды найдём из прямоугольного треугольника SHD, гипотенуза которого равна боковому ребру пирамиды, a катет DH равен половине диагонали основания.

Диагонали квадрата равны.

⇒ $DB =\sqrt{x^2+x^2} =x\sqrt{2} \Rightarrow DH=\dfrac{x\sqrt{2}}{2}$

Найдём 2 катет по т.Пифагора (он же высота пирамиды):  

$h^2=y^2-\Big(\dfrac{x\sqrt{2}}{2}\Big)^2=y^2-\dfrac{2x^2}{4}=y^2-\dfrac{x^2}{2}=\dfrac{2y^2}{2}-\dfrac{x^2}{2}=\dfrac{2y^2-x^2}{2}$

Отсюда: $h=\dfrac{\sqrt{2y^2-x^2}}{\sqrt{2}}$.

Остаётся найти ответ на вопрос: чему равен объём пирамиды.

$V =\dfrac{1}{3}\cdot {S}_{(OCHOB.)} \cdot h=\dfrac{1\cdot x^2\cdot\sqrt{2y^2-x^2}}{3\cdot1\cdot\sqrt{2}}=\dfrac{x^2\cdot\sqrt{2y^2-x^2}}{3\sqrt{2}}$.

Ответ: $\dfrac{x^2\cdot\sqrt{2y^2-x^2}}{3\sqrt{2}}$

Answer 2

Объем правильной четырехугольной пирамиды можно вычислить по следующей формуле:

$V = \frac{1}{3} \cdot S_{\text{осн}} \cdot h,$

где:

• $S_{\text{осн}}$ - площадь основания пирамиды,
• $h$ - высота пирамиды.

Для вычисления площади основания $S_{\text{осн}}$ нам потребуется знать стороны основания $x$. В данном случае, так как у нас четырехугольная пирамида, основание состоит из четырех равных треугольников. Эти треугольники можно разделить на два прямоугольных треугольника, каждый из которых имеет катеты $\frac{x}{2}$ и $y$, где $y$ - боковое ребро пирамиды.

По теореме Пифагора, гипотенуза прямоугольного треугольника равна:

$\text{гипотенуза} = \sqrt{\left(\frac{x}{2}\right)^2 + y^2}.$

Так как у нас два таких треугольника, площадь обоих треугольников составит:

$S_{\text{осн}} = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{x}{2} \cdot y = \frac{xy}{2}.$

Теперь, чтобы найти высоту $h$ пирамиды, можно использовать теорему Пифагора для треугольника, образованного половиной диагонали основания, боковым ребром $y$ и высотой $h$. Гипотенуза этого треугольника будет $\frac{x}{2}$, один катет $\frac{xy}{2}$, а второй катет - высота $h$:

$\left(\frac{xy}{2}\right)^2 + h^2 = \left(\frac{x}{2}\right)^2.$

Решая это уравнение относительно $h$, получим:

$h = \sqrt{\left(\frac{x}{2}\right)^2 - \left(\frac{xy}{2}\right)^2}.$

Теперь, подставляя полученные значения $S_{\text{осн}}$ и $h$ в формулу для объема $V$, получим:

$V = \frac{1}{3} \cdot \frac{xy}{2} \cdot \sqrt{\left(\frac{x}{2}\right)^2 - \left(\frac{xy}{2}\right)^2}.$

Это и есть формула для вычисления объема данной четырехугольной пирамиды при заданных сторонах основания $x$ и боковом ребре $y$.