Question

В треугольнике ABC сторона BC = 9 см. Найдите длину отрезка с концами на сторонах AB и AC, параллельного стороне BC и прошедшего через точку пересечения медиан треугольника ABC.

Answer 1

поставь лучший ответ

точка пересечения медиан(центроид) делит медианы треугольника в соотношении 2:1

HK-отрезок на пересечении медиан

поскольку BC||HK ==> углы AHK=ABC AKH=ACB==> треугольник ABC пропорционален треугольнику AHK

за теоремой Фалеса о пропорциональных отрезках

(за ус. задачи HK Є центроиду) соотношение размеров за медианами 2:1

треугольник AHK= 2

ABC= 2+1=3

ABC:AHK=3:2

BC:HK=9:X

X=9/3*2

X=6

Ответ HK=6

Answer 2

Пусть точка пересечения медиан треугольника ABC обозначается как точка M. Также, пусть отрезок, параллельный стороне BC и проходящий через точку M, пересекает сторону AB в точке P и сторону AC в точке Q.

Сначала заметим, что медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1 относительно вершины. То есть, если AM - медиана, то AM/MC = 2/1.

Поскольку точка M делит медиану AM в отношении 2:1, можно сказать, что AM = 2/3 * AP (так как точка M ближе к вершине A, чем к середине медианы MC).

Аналогично, MQ = 2/3 * QM.

Таким образом, можно сказать, что AM + MQ = 2/3 * (AP + QM).

Но AM + MQ = AQ (по построению), поэтому мы имеем:

AQ = 2/3 * (AP + QM).

Из этого следует, что:

3 * AQ = 2 * (AP + QM).

Следовательно:

3 * AQ = 2 * AP + 2 * QM.

Теперь давайте рассмотрим треугольники AMP и QMC. Эти треугольники подобны, так как углы при вершинах M и C прямые (ведь M - точка пересечения медиан, а QMC - прямоугольный треугольник), и угол AMP соответствует углу QMC (по построению). Следовательно, отношение длин сторон в этих треугольниках равно отношению длин других сторон:

AM / MQ = AP / QM.

Подставляем AM = 2/3 * AP и MQ = 2/3 * QM:

(2/3 * AP) / (2/3 * QM) = AP / QM.

Сокращаем 2/3:

AP / QM = AP / QM.

Это означает, что треугольники AMP и QMC подобны, а значит, их стороны пропорциональны:

AM / MQ = AP / QM = MP / MC.

Теперь мы можем записать:

MP / MC = AM / MQ.

Подставляем значения AM = 2/3 * AP и MQ = 2/3 * QM:

MP / MC = (2/3 * AP) / (2/3 * QM) = AP / QM.

Мы знаем, что MP + PQ = MQ, так как MP и PQ - это две части отрезка MQ. Таким образом:

MP + PQ = QM.

Выразим QM:

QM = MP + PQ.

Подставляем MP / MC = AP / QM:

QM = MP + AP / (MP / MC).

Теперь, используем свойство подобных треугольников, где соответствующие стороны пропорциональны:

MP / MC = AP / BC.

Подставляем BC = 9 см:

MP / MC = AP / 9.

Отсюда:

MP = (AP / 9) * MC.

Теперь вернемся к выражению для QM:

QM = MP + AP / (MP / MC).

Подставляем выражение для MP:

QM = ((AP / 9) * MC) + AP / (((AP / 9) * MC) / MC).

Упрощаем:

QM = (AP / 9) * MC + AP / (AP / 9).

QM = (AP / 9) * MC + 9.

Мы знаем, что AM + MQ = AQ, и AM = 2/3 * AP:

2/3 * AP + QM = AQ.

Подставляем значение QM:

2/3 * AP + ((AP / 9) * MC + 9) = AQ.

Упрощаем:

(2/3 * AP) + ((AP / 9) * MC) + 9 = AQ.

Умножаем все на 9, чтобы избавиться от дробей:

6 * AP + AP * MC + 81 = 9 * AQ.

Перегруппируем:

AP * (6 + MC) = 9 * AQ - 81.

AP * (MC + 6) = 9 * AQ - 81.

Теперь мы можем решить это уравнение относительно AP:

AP = (9 * AQ - 81) / (MC + 6).

Итак, мы получили выражение для длины отрезка AP, который идет от стороны AB параллельно BC и проходит через точку пересечения медиан треугольника ABC.