Question

Три угла четырехугольника,вписанного в окружность,взятых в порядке 2:6:7. Найдите все углы четырехугольника ​

Answer 1

Ответ: Пусть дан четырехугольник ABCD, вписанный в окружность. Если x — коэффициент пропорциональности, тогда ∠A = 2 * x, ∠B = 6 * x, ∠C = 7 * x.

1. В окружность можно вписать только такой четырехугольник, у которого суммы противолежащих сторон попарно равны, то есть в данном по условию четырехугольнике ABCD должно выполняться равенство:

∠A + ∠C = ∠B + ∠D.

Известно, что сумма всех углов четырехугольника равна 360°, тогда:

∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°.

Подставим данные по условию значения в оба выражения:

2 * x + 7 * x = 6 * x + ∠D;

2 * x + 6 * x + 7 * x + ∠D = 360°.

Мы получили системы линейных уравнений с двумя переменными.

Приведем подобные слагаемые в первом уравнении и выразим ∠D:

2 * x + 7 * x - 6 * x = ∠D;

∠D = 3 * x.

Приведем подобные слагаемые во втором уравнении и выразим ∠D:

∠D = 360° - 2 * x - 6 * x - 7 * x;

∠D = 360° - 15 * x.

Приравняем оба выражения:

3 * x = 360° - 15 * x;

3 * x + 15 * x = 360°;

18 * x = 360°;

x = 360°/18;

x = 20°.

2. Найдем градусные меры углов:

∠A = 2 * x = 2 * 20° = 40°.

∠B = 6 * x = 6 * 20° = 120°.

∠C = 7 * x = 7 * 20° = 140°.

∠D = 3 * x = 3 * 20° = 60°.

Answer 2

Если четырёхугольник вписан в окружность, то сумма его противоположных углов равна 180 градусов. Давайте обозначим углы четырёхугольника как A, B, C и D, и пусть углы A и C будут взяты в порядке 2:6:7, а углы B и D будут противоположными им углами.

Сумма углов A и B равна 180 градусов: A + B = 180°

Сумма углов C и D также равна 180 градусов: C + D = 180°

Поскольку углы A и C взяты в порядке 2:6:7, можно представить их как: A = 2x C = 6x

Тогда углы B и D будут: B = 180° - A B = 180° - 2x

D = 180° - C D = 180° - 6x

Сумма всех углов четырёхугольника также равна 360 градусов: A + B + C + D = 360°

Подставим значения A, B, C и D: 2x + (180° - 2x) + 6x + (180° - 6x) = 360°

Упростим уравнение: 2x + 180° - 2x + 6x + 180° - 6x = 360° 360° = 360°

Уравнение верно. Это означает, что данный четырёхугольник вписан в окружность и углы, взятые в порядке 2:6:7, образуют правильный четырёхугольник.