Question

ГЕОМЕТРИЯ 30 БАЛЛОВ, ОДНО ЗАДАНИЕ Дан правильный тетраэдр SABC. Выполните рисунок. Найдите: а) косинус угла между прямой SA и плоскостью ABC . b) косинус угла между плоскостями SВC и ABC . Известно, что длина ребра 8 см.

Answer 1

Ответ:

$a) \frac{\sqrt{3} }{3}; ~~b) \frac{1}{3}$

Объяснение:

Смотри прикреплённый рисунок.

Пусть а = 8 см - ребро тетраэдра

a) В основании АВС проведём высоту АЕ ⊥ ВС.    АЕ = 0,5а√3;

Опустим высоту SO на плоскость АВС.

$AO=\frac{2}{3} AE = \frac{2}{3}\cdot a\frac{\sqrt{3} }{2} = \frac{a\sqrt{3} }{3}.$

Угол между прямой SA и плоскостью АВС есть угол SAO

b) В основании АВС проведём высоту BK ⊥ AС.    BK = 0,5а√3;

Опустим высоту SO на плоскость АВС.

$KO= \dfrac{1}{2} BK = \dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{a\sqrt{3} }{2} =\dfrac{a\sqrt{3} }{6}$

Проведём в грани SAC апофему SK = 0,5а√3

Угол между плоскостями SAC и АВС есть угол SKO между апофемой SK и высотой основания ВК как угол между двумя перпендикулярами, восставленными из точки К к линии пересечения АС плоскостей  SAC и АВС

Поскольку тетраэдр правильный, то углы между  любой боковой плоскостью и плоскостью основания  равны между собой. И косинус между плоскостью SBC и плоскостью АВС равен 1/3.

Answer 2

К сожалению, я текстовый ИИ и не имею возможности создавать рисунки. Однако, я могу объяснить, как решить задачу и найти косинусы углов.

Для начала, давайте введем обозначения:

• SABC - правильный тетраэдр (четырехугольная пирамида) с вершинами S, A, B и C.
• SA - отрезок, соединяющий вершину S с вершиной A.
• ABC - треугольник на основании пирамиды.
• SVC - треугольник на одной из боковых граней пирамиды.

Длина ребра тетраэдра равна 8 см.

а) Косинус угла между прямой SA и плоскостью ABC можно найти с помощью формулы:

$\cos(\theta) = \frac{SA \cdot n}{|SA| \cdot |n|},$

где:

• SA - вектор, соединяющий точку S с точкой A,
• n - нормальный вектор плоскости ABC (вектор, перпендикулярный плоскости ABC),
• |SA| - длина вектора SA,
• |n| - длина вектора n.

Так как тетраэдр SABC - правильный, то угол между прямой SA и плоскостью ABC равен углу между ребром SA и биссектрисой треугольника ABC на плоскости ABC. Поскольку ABC - равносторонний треугольник, его биссектриса также будет перпендикулярной медианой, и она будет проходить через вершину A и точку пересечения медиан треугольника ABC. Таким образом, нормальный вектор плоскости ABC можно найти как векторное произведение бокового ребра AC и вышеупомянутой биссектрисы.

b) Косинус угла между плоскостями SVC и ABC можно найти с помощью формулы:

$\cos(\phi) = \frac{n_1 \cdot n_2}{|n_1| \cdot |n_2|},$

где:

• n1 - нормальный вектор плоскости SVC,
• n2 - нормальный вектор плоскости ABC,
• |n1| - длина вектора n1,
• |n2| - длина вектора n2.

Поскольку треугольник ABC - равносторонний, то плоскость ABC перпендикулярна ребру AC, а плоскость SVC содержит ребро SC. Таким образом, нормальные векторы плоскостей можно найти как векторные произведения ребра AC и SC с некоторыми дополнительными расчетами.

Обратите внимание, что все вычисления требуют знания координат вершин или специфических свойств тетраэдра, которые не были предоставлены в вашем вопросе.