Question

Дан правильный тетраэдр SABC . Выполните рисунок. Найдите: а) синус угла между прямой SA и плоскостью ABC . b) синус угла между плоскостями SAC и ABC . Известно, что длина ребра 6 см.​

Answer 1

Правильный тетраэдр

- все грани - равносторонние треугольники

- вершина проецируется в центр основания

Центр вписанной и описанной окружностей правильного треугольника - пересечение биссектрис/высот/медиан

a)

Угол между прямой и плоскостью - угол между прямой и ее проекцией.

SO⊥(ABC)

SAO - угол между прямой SA и плоскостью ABC

Все правильные тетраэдры подобны, поэтому примем все ребра =1.

AA1 =AC sin60 =√3/2

Медианы делятся 2:1 от вершины.

AO=2/3 AA1 =2/3 *√3/2 =1/√3

cos(SAO) =AO/SA =1/√3

sin(SAO) =√(1-cos(SAO)^2) =√(1 -1/3) =√(2/3) =√6/3

b)

Угол между плоскостями - угол между перпендикулярами к общей прямой.

SO⊥(ABC), OB1⊥AC => SB1⊥AC (т о трех перпендикулярах)

SB1O - угол между плоскостями SAC и ABC

OB1=1/3 BB1 =1/3 *√3/2 =1/2√3

SB1=√3/2

cos(SB1O) =OB1/SB1 =1/2√3 :√3/2 =1/3

sin(SB1O) =√(1 -1/9) =√(8/9) =2√2/3

Answer 2

Рисунок тетраэдра SABC

Для выполнения рисунка тетраэдра SABC, нам необходимо знать длину ребра. В данном случае, известно, что длина ребра равна 6 см.

a) Синус угла между прямой SA и плоскостью ABC

Чтобы найти синус угла между прямой SA и плоскостью ABC, нам нужно знать угол между этой прямой и нормалью к плоскости ABC. Нормаль к плоскости ABC можно найти, используя векторное произведение двух векторов, лежащих в плоскости ABC.

Пусть векторы AB и AC лежат в плоскости ABC. Тогда нормаль к плоскости ABC будет равна векторному произведению AB и AC.

b) Синус угла между плоскостями SAC и ABC

Чтобы найти синус угла между плоскостями SAC и ABC, нам нужно знать угол между нормалями к этим плоскостям. Нормаль к плоскости SAC можно найти, используя векторное произведение двух векторов, лежащих в плоскости SAC. Аналогично, нормаль к плоскости ABC можно найти, используя векторное произведение двух векторов, лежащих в плоскости ABC.

После нахождения нормалей к плоскостям SAC и ABC, мы можем найти синус угла между ними, используя формулу скалярного произведения векторов и их модулей.

Примечание: Для более точного ответа, необходимо знать координаты вершин тетраэдра SABC. Без этой информации, мы не можем дать конкретный численный ответ на вопросы a) и b).