Question

Образующая усеченного конуса равна 2√3 см, а радиус меньшего основания √3 см. Найдите радиус сферы, описанной вокруг данного усеченного конуса, если угол между его образующей и большим основанием равен 60 °.

Answer 1

Образующая усеченного конуса равна 2√3 см, а радиус меньшего основания √3 см. Найдите радиус сферы, описанной вокруг данного усеченного конуса, если угол между его образующей и большим основанием равен 60 °.

Объяснение:

В осевом сечении данной комбинации тел получается равнобедренная трапеция , вписанная в окружность.

АВСМ-равнобедренная трапеция , О-центр описанной окружности., АВ=СМ=2√3, ВС=2√3, ∠СМА=60°. Найти R.

Пусть ВН⊥АМ, СК⊥АМ.Тогда НВСК-прямоугольник, ВС=НК=2√3 см

ΔСКМ прямоугольный. cos60°=КМ/(2√3) , КМ=√3 см ⇒АН=√3см,

                                         sin60°=CК/(2√3)  , СК=3 см .

Найдем АК=АН+НК=3√3 (см) и   АМ=2√3+2√3=4√3 (см).

ΔАСК-прямоугольный , по т. Пифагора

АС=√ ( (3√3)²+3²)=√36=6 (см)

ΔАСМ , вычислим АМ²  ,  АС²+СМ², затем сравним.

АМ²=(4√3)²=48,

АС²+СМ²=6²+(2√3)²=36+12=48.

Получили АМ²=АС²+СМ² ⇒ ΔАСМ-прямоугольный , по т. обратной т. Пифагора и  ∠АСМ=90° ⇒ центр описанной окружности лежит на середине АМ ⇒

R=2√3 cv

Answer 2

Давайте разберемся с задачей.

У нас есть усеченный конус, у которого даны следующие параметры:

• Образующая (высота) усеченного конуса: $l = 2\sqrt{3}$ см.
• Радиус меньшего основания: $r = \sqrt{3}$ см.
• Угол между образующей и большим основанием: $60^\circ$.

Мы хотим найти радиус сферы, описанной вокруг этого усеченного конуса.

Для начала, давайте найдем радиус большего основания. Мы знаем, что меньшее основание усеченного конуса лежит в его плоскости симметрии, поэтому можно провести прямую линию из вершины конуса до центра большего основания. Эта линия будет перпендикулярна большому основанию и также будет половиной образующей сферы, описанной вокруг усеченного конуса.

Так как у нас есть угол между образующей и большим основанием ($60^\circ$), и мы знаем, что вершина конуса, центр большего основания и центр сферы лежат на одной линии, то у нас образуется прямоугольный треугольник.

В этом треугольнике у нас известны:

• Половина образующей сферы ($l/2 = \sqrt{3}$ см, так как $l = 2\sqrt{3}$ см).
• Угол между образующей сферы и большим основанием ($60^\circ$).

Мы можем использовать тригонометрию, чтобы найти радиус большего основания. Радиус большего основания ($R$) связан с половиной образующей сферы ($l/2$) и тангенсом угла ($60^\circ$) следующим образом:

$\tan(60^\circ) = \frac{l/2}{R}$

Решив это уравнение относительно $R$, получим:

$R = \frac{l}{2 \cdot \tan(60^\circ)} = \frac{2\sqrt{3}}{2 \cdot \sqrt{3}} = 1$ см.

Таким образом, радиус большего основания $R$ равен 1 см.

И наконец, радиус сферы, описанной вокруг усеченного конуса, будет равен радиусу большего основания, то есть $R = 1$ см.