Question

Площадь полной поверхности конуса 200π см², а его образующая 17 см. Найти объем конуса

Answer 1

Объяснение:

Sп.п=200π см²

L=17 см

Vк-?

Sп.п=πR(R+L)=200π см²

уравнение

R(R+L)=S

R(R+17)=200

R²+17R-200=0

D=b²-4ac=17²-4×1×(-200)=289+800=1089

R= (-b+√D)/2a=( -17+√1089)/2×1=-17+33)/2=8

8×(8+17)-200=8×25-200=0

высота конуса

Н=√L²-R²=√17²-8²=√289-64=√225=15 см

Vк=1/3 ×π×R²×H=1/3 × π×8²×15=320π см³

или Vк=320× π=320×3,14=1004,8 см³

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать формулы, связанные с геометрией конусов.

Площадь полной поверхности конуса (S) может быть вычислена как сумма площади основания (подставляем площадь круга) и площади боковой поверхности (подставляем площадь сектора):

$S = \pi r^2 + \pi r l,$

где $r$ - радиус основания конуса, $l$ - образующая конуса.

Известно, что площадь полной поверхности $S = 200\pi$ см², а образующая $l = 17$ см. Подставляя это в формулу:

$200\pi = \pi r^2 + \pi r \cdot 17.$

Решим это уравнение относительно $r$:

$200\pi = \pi r^2 + 17\pi r.$

Делим обе стороны на $\pi$:

$200 = r^2 + 17r.$

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно $r$. Решим его с помощью квадратного корня:

$r^2 + 17r - 200 = 0.$

Факторизуем левую часть:

$(r + 25)(r - 8) = 0.$

Это дает два возможных значения $r$: $r = -25$ и $r = 8$. Отрицательное значение радиуса не имеет физического смысла, так что мы берем $r = 8$ см.

Теперь, чтобы найти объем конуса (V), мы используем формулу для объема конуса:

$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h,$

где $h$ - высота конуса.

Образующая конуса ($l$) является гипотенузой треугольника, а высота ($h$) - одним из катетов. Мы можем использовать теорему Пифагора:

$l^2 = r^2 + h^2.$

Подставляя известные значения $l = 17$ и $r = 8$:

$17^2 = 8^2 + h^2,$ $289 = 64 + h^2.$

Решаем это уравнение относительно $h$:

$h^2 = 225,$ $h = 15.$

Теперь мы можем вычислить объем:

$V = \frac{1}{3} \pi (8^2) \cdot 15 = \frac{1}{3} \cdot 64 \cdot 15 \pi = 320\pi \, \text{см}^3.$

Таким образом, объем конуса составляет $320\pi$ кубических сантиметров.