Question

В прямоугольном треугольнике ACB ( <C = 90° ), AB = 15, ABC = 60°. С центром в точке В проведена окружность. Каким должен быть ее радиус чтобы:  a) окружность касалась прямой ACb) окружность не имела точек с прямой AC с) окружность имела две общие точки с прямой AC?​

Answer 1

Ответ:

б потому что окружность 60=30 градусов авс=5✓2

Answer 2

Чтобы решить данную задачу, давайте рассмотрим каждый из случаев.

a) Окружность касается прямой AC: В этом случае, окружность будет вписанной в треугольник ABC. Радиус вписанной окружности можно найти с использованием формулы:

$r = \frac{a + b - c}{2}$,

где $a = AB = 15$, $b = BC$, $c = AC$.

Так как у нас прямоугольный треугольник и $\angle ABC = 60°$, мы можем применить тригонометрические соотношения для нахождения $b$ и $c$:

$\sin(\angle ABC) = \frac{BC}{AB} \Rightarrow BC = AB \cdot \sin(\angle ABC) = 15 \cdot \sin(60°) = \frac{15\sqrt{3}}{2}$, $\cos(\angle ABC) = \frac{AC}{AB} \Rightarrow AC = AB \cdot \cos(\angle ABC) = 15 \cdot \cos(60°) = \frac{15}{2}$.

Теперь подставим значения в формулу для радиуса вписанной окружности:

$r = \frac{15 + \frac{15\sqrt{3}}{2} - \frac{15}{2}}{2} = \frac{15\sqrt{3}}{4}$.

b) Окружность не имеет точек с прямой AC: В этом случае, радиус окружности должен быть больше половины отрезка AC. Так как $AC = \frac{15}{2}$, радиус $r$ должен быть больше $\frac{15}{4}$.

c) Окружность имеет две общие точки с прямой AC: В этом случае, радиус окружности должен быть меньше половины отрезка AC, но больше или равен расстоянию между центром окружности и прямой AC. Расстояние между центром окружности и прямой AC можно найти с использованием формулы для расстояния от точки до прямой:

$\text{расстояние} = \frac{|Ax + By + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$,

где уравнение прямой AC в общем виде $Ax + By + C = 0$. В данном случае, прямая AC проходит через точку A(0, 0) и C(15/2, 0), поэтому уравнение будет $x - \frac{15}{2} = 0$, то есть $A = 1, B = 0, C = -\frac{15}{2}$.

Подставив значения, получим:

$\text{расстояние} = \frac{|-\frac{15}{2}|}{\sqrt{1^2 + 0^2}} = \frac{15}{2}$.

Таким образом, радиус $r$ должен быть больше или равен $\frac{15}{2}$.

Итак, в итоге получаем:

a) $r = \frac{15\sqrt{3}}{4}$ - радиус окружности, чтобы она касалась прямой AC. b) $r > \frac{15}{4}$ - радиус окружности, чтобы она не имела точек с прямой AC. c) $r \geq \frac{15}{2}$ - радиус окружности, чтобы она имела две общие точки с прямой AC.