Question

ОЧЕНЬ СРОЧНО даю 18 баллов. В прямой призме ABCА1В1С1 угол АВС - прямой, угол САВ равен 60 градусов, AВ = 2 см, AА1 = 1 см. 1) Найдите площадь полной поверхности прямой призмы. 2) Найдите площадь сечения призмы плоскостью A1BC. 3) Найдите угол между плоскостями A1BС и АВC. 4) Докажите, что плоскость A1BС перпендикулярна плоскости AА1В1.

Answer 1

Ответ:

1) 6 см

2) 2

3) 30градусов

Объяснение:

Answer 2

Для решения этой задачи нам понадобятся основные свойства и формулы для призм.

Обозначим:

• $AB = BC = CA = a$ (стороны призмы)
• $AA_1 = a_1$ (высота вершины призмы над основанием ABC)
• $BV = CV = h$ (высота призмы)

1. Площадь полной поверхности прямой призмы: Полная поверхность призмы состоит из двух оснований и трех боковых граней.

Площадь основания ABC: $S_{ABC} = a^2$ Площадь боковой грани A1AСBV: $S_{A1AСBV} = a_1 \cdot a$ Площадь боковой грани A1BСCV1: $S_{A1BСCV1} = h \cdot a$ Площадь боковой грани A1V1V: $S_{A1V1V} = h \cdot a_1$

Суммируем все площади: $S_{\text{полная}} = 2 \cdot S_{\text{основания}} + 2 \cdot S_{\text{боковых}} = 2 \cdot a^2 + 2 \cdot a_1 \cdot a + 2 \cdot h \cdot a = 2a(a + a_1 + h)$

2. Площадь сечения призмы плоскостью A1BC: Площадь сечения ABC: $S_{ABC} = a^2$

3. Угол между плоскостями A1BC и ABC: Угол между двумя плоскостями можно найти, используя скалярное произведение их нормалей. Нормали к этим плоскостям - это их направляющие векторы. Вектор нормали к плоскости A1BC можно найти как векторное произведение векторов $A1B$ и $A1C$.

$\vec{n}_{A1BC} = \vec{A1B} \times \vec{A1C}$ $\vec{n}_{ABC} = \vec{AB} \times \vec{AC}$

Затем можно найти косинус угла между ними, используя скалярное произведение:

$\cos \theta = \frac{\vec{n}_{A1BC} \cdot \vec{n}_{ABC}}{\|\vec{n}_{A1BC}\| \cdot \|\vec{n}_{ABC}\|}$

4. Доказательство перпендикулярности плоскостей A1BC и AA1V1: Для доказательства перпендикулярности двух плоскостей, достаточно показать, что их нормали (направляющие векторы) перпендикулярны. Вектор нормали к плоскости A1BC мы уже нашли ранее ($\vec{n}_{A1BC} = \vec{A1B} \times \vec{A1C}$). Для вектора нормали к плоскости AA1V1 можно использовать направляющие векторы $AA1$ и $AV1$.

Если их скалярное произведение равно нулю, то векторы перпендикулярны, и, следовательно, плоскости также перпендикулярны.

$\vec{n}_{AA1V1} = \vec{AA1} \times \vec{AV1}$

Если $\vec{n}_{A1BC} \cdot \vec{n}_{AA1V1} = 0$, то п