Question

7.Основанием пирамиды служит треугольник со сторонами 6дм, 10дм и 14дм. Каждое боковое ребро пирамиды наклонено к плоскости основания под углом 450. Найти объем пирамиды.

Answer 1

Ответ:

70 dm3

Объяснение:

V=1/3*S*H - нужно найти высоту пирамиды и площадь основания.      (1)

Так как каждое из боковых ребер наклонено к плоскости основания пирамиды под углом 45 градусов, то вершина пирамиды проецируется в центр описанной около основания окружности радиуса R.

Рассмотрим треугольник АВС , лежащий в основании и найдем R.

AB=6 dm, AC=10 dm, BC=14 dm

Тогда по т. косинусов запишем

196=36+100-2*6*10*cosA

120*cosA=-60

cosA=-1/2

A=120 градусов

Тогда sin A= sqrt(3)/2

Находим R  по теореме синусов:

2R=BC/sinA= 14/sqrt(3)*2

R=14/sqrt(3)

Найдем высоту пирамиды:

h=R*tg45= 14/sqrt(3)

Найдем площадь основания по формуле:

S=АВ*AC*sinA/2= 6*10*sqrt(3)/2/2=15*sqrt(3) dm2

Тогда подставивив (1) h и S найдем обьем пирамиды:

V=1/3*15*sqrt(3)*14/sqrt(3)=5*14=70 dm3

Answer 2

Обозначим вершины пирамиды АВС с высотой ДО. Объем пирамиды вычисляется по формуле: V=⅓×Sосн×ДО. Зная все стороны основания найдём его площадь через его полупериметр:

Р=14+10+6=30; Р/2=p=15дм

S=√((p(p-AC)(p-AB)(p-ВС))=

=√((15(15-14)(15-10)(15-6))=√(15×1×5×9)=

=√225=15дм²

S=15дм²

Опишем вокруг основания окружность с точкой О. АО=ВО=СО=R

R=AB×BC×AC/4S=14×10×6/4×15=840/60=

=14дм

Треугольники образуемые радиусами, высотой ДО и боковыми рёбрами - прямоугольные и так как боковые рёбра образуют с основанием угол 45°, то углы при вершине также будут 45°, поскольку сумма острых углов прямоугольного треугольника составляет 90°, и угол при вершине=90-45=45°, из чего следует что эти треугольники равнобедренные, поэтому радиус R=высоте ДО=14дм.

Теперь найдём объем пирамиды зная её высоту и площадь основания:

V=⅓×15×14=70дм³

ОТВЕТ: V=70дм³

Answer 3

Для нахождения объема пирамиды, основанной на треугольнике, можно воспользоваться следующей формулой:

$V = \frac{1}{3} \cdot S_{\text{осн}} \cdot h,$

где $S_{\text{осн}}$ - площадь основания пирамиды, а $h$ - высота пирамиды.

Сначала найдем площадь основания $S_{\text{осн}}$ с использованием полупериметра треугольника $p$:

$p = \frac{a + b + c}{2},$

где $a = 6 \, \text{дм}$, $b = 10 \, \text{дм}$, $c = 14 \, \text{дм}$.

$p = \frac{6 + 10 + 14}{2} = 15 \, \text{дм}.$

Теперь используем формулу Герона для нахождения площади треугольника:

$S_{\text{осн}} = \sqrt{p \cdot (p - a) \cdot (p - b) \cdot (p - c)},$

$S_{\text{осн}} = \sqrt{15 \cdot (15 - 6) \cdot (15 - 10) \cdot (15 - 14)},$

$S_{\text{осн}} = \sqrt{15 \cdot 9 \cdot 5 \cdot 1} = 15 \cdot 3 \cdot 1 = 45 \, \text{дм}^2.$

Так как боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости основания под углом 45°, то треугольник, образованный одним из боковых ребер, основанием пирамиды и высотой, является прямоугольным. Высоту этого треугольника можно найти как половину высоты пирамиды $h$, так как он делится пополам диагональю основания.

$h_{\text{бок}} = \frac{h}{2}.$

Теперь, можно применить теорему Пифагора к этому треугольнику:

$(h_{\text{бок}})^2 + (a/2)^2 = (b/2)^2,$

$\left(\frac{h}{2}\right)^2 + \left(\frac{6}{2}\right)^2 = \left(\frac{10}{2}\right)^2,$

$\frac{h^2}{4} + 9 = 25,$

$\frac{h^2}{4} = 16,$

$h^2 = 64,$

$h = 8 \, \text{дм}.$

Теперь, используя найденные значения $S_{\text{осн}} = 45 \, \text{дм}^2$ и $h = 8 \, \text{дм}$, можно вычислить объем пирамиды:

$V = \frac{1}{3} \cdot 45 \cdot 8 = 120 \, \text{дм}^3.$

Итак, объем пирамиды составляет $120 \, \text{дм}^3$.