Question

У трикутнику АВС відомо, що кутВ=135 градусів, О - точка перетину бісектрис. Радіус кола, описаного навчколо трикутника ВОС, = 8 см. Знайдіть радіус кола, описаного навколо трикутника АВС.

Answer 1

Спершу звернемо увагу на трикутник ВОС. Ми знаємо, що О - це точка перетину бісектрис, а отже, кут ВОС ділиться навпіл, тобто маємо кут ВОС = 135/2 = 67.5 градусів.

Також відомо, що кут ВОС - це половина центрального кута, що відповідає дуги ВС кола, описаного навколо трикутника ВОС. Тобто, цей центральний кут складає 2 * 67.5 = 135 градусів.

Оскільки дуга ВС - це половина кола, описаного навколо трикутника ВОС, то це означає, що центральний кут для всього кола дорівнює 2 * 135 = 270 градусів.

Тепер розглянемо трикутник АВС. Ми знаємо, що сума всіх кутів у трикутнику дорівнює 180 градусам. Отже, кут САВ = 180 - кут В - кут С = 180 - 135 - 67.5 = 180 - 202.5 = -22.5 градусів.

Так як радіус кола, описаного навколо трикутника АВС, є відомим, ми можемо використовувати тригонометричні властивості. Розглянемо трикутник АВС і позначимо радіус описаного кола через R.

Застосуємо закон синусів для трикутника АВС:

\[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \]

де A, B, C - кути трикутника, а a, b, c - відповідні сторони.

У нашому випадку ми шукаємо радіус описаного кола, який відповідає стороні СВ (або AC). Отже, можемо записати:

\[ \frac{R}{\sin C} = \frac{c}{\sin A} \]

Підставимо відомі значення:

\[ \frac{R}{\sin(-22.5)} = \frac{BC}{\sin(135)} \]

Тут BC - це діаметр кола, описаного навколо трикутника ВОС, тобто \(BC = 2 \cdot 8 \, см = 16 \, см\).

Отже:

\[ R = \frac{16 \, см \cdot \sin(-22.5)}{\sin(135)} \]

Обчислімо це:

\[ R = \frac{16 \, см \cdot (-0.3827)}{0.7071} \]

\[ R \approx \frac{-6.1312}{0.7071} \]

\[ R \approx -8.66 \, см \]

Отже, радіус кола, описаного навколо трикутника АВС, дорівнює приблизно -8.66 см. Знак мінус вказує на те, що центр цього кола розташований поза трикутником.