Question

Дан квадрат ABCD. На стороне CD взята точка P, а на продолжении стороны AB за вершину A - точка E, ∠PBC=35, ∠ADE=55, ED=5 см. С помощью калькулятора вычислите отрезки AE, AD, PC и найдите площадь DPBE

Answer 1

$AE=ED*sin55^\circ=5*sin55^\circ = 4.10 \\ \\ AB=BC=CD=AD=ED*cos55^\circ=5*cos55^\circ=2.87\\ \\ PC=BC*tg35^\circ=2.87*tg35^\circ=2.01 \\ \\ PD=CD-PC=2.87-2.01=0.86\\ \\ BE = AB+AE=2.87+4.1=6.97 \\ \\ S_{DPBE}=\frac{PD+BE}{2}*AD=\frac{0.86+6.97}{2}*2.87= 11.24$

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся несколькими свойствами геометрии.

1. Угол, образованный хордой и касательной, равен половине угла, опирающегося на дугу, составляемую хордой.

2. В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

3. Площадь четырехугольника можно вычислить как сумму площадей двух треугольников.

Итак, пусть точка Q - точка пересечения прямых AB и PC. Тогда из свойства 1 следует, что ∠BCQ = 90 - 35 = 55 градусов, а ∠DAQ = 55 градусов. Значит, треугольники ADQ и ADE подобны, и мы можем найти длину стороны AD следующим образом:

AD/DE = AE/AQ

AD/5 = AE/(AE+QC)

AD = 5AE/(AE+QC)

Из свойства 2 следует, что:

AE^2 + EC^2 = AC^2

AE^2 + (AD - DC)^2 = AC^2

AE^2 + (5AE/(AE+QC) - DC)^2 = AC^2

AE^2 + (5AE/(AE+QC) - AC)^2 = AC^2

10AE^2/(AE+QC) - 10AC*AE/(AE+QC) + AC^2 = 0

10AE^2 - 10ACAE + AC^2(AE+QC) = 0

AE = (10AC - sqrt(100AC^2 - 40AC*QC))/20

Теперь мы можем найти длину PC. Для этого заметим, что треугольники PBQ и PCQ подобны, так как они имеют два одинаковых угла (в силу того, что ∠BCQ = 90 - ∠PBC = ∠PCQ). Тогда:

PC/PB = QC/BP

PC/(AQ - AE) = QC/AE

PC = AQ*QC/AE - QC

Теперь мы можем вычислить площадь четырехугольника DPBE, разбив его на два треугольника. Пусть точка R - точка пересечения прямых AD и PB. Тогда:

S(DPBE) = S(DRP) + S(BRE)

S(DRP) = (1/2)DRDPsin(∠DPR) = (1/2)ADDCsin(∠DPR)

S(BRE) = (1/2)BRBEsin(∠BRP) = (1/2)PBAEsin(∠BRP)

Так как ∠DPR = ∠BRP (они смежные углы), мы мож