Question

В правильной четырехугольной пирамиде апофема образует с плоскостью основания угол 30 градусов,высота пирамиды равна 7 см. найти площадь полнойповерхности и объем пирамиды​

Answer 1

Ответ: Sпол=882см²; V=1372см³

Объяснение:в основании правильной четырёхугольной пирамиды лежит квадрат поэтому все стороны основания являются. Обозначим вершины пирамиды АВСД с высотой КО , апофемой КМ и диагоналями основания АС и ВД. Диагонали пересекаясь делятся пополам и делят квадрат на 4 равных равнобедренных прямоугольных треугольника в которых половины диагоналей являются катетами а стороны основания гипотенузой. Рассмотрим полученный ∆КМО. Он прямоугольный где КО и МО - катеты, а КМ- гипотенуза. Так как угол КМО=30°, то катет КО лежащий напротив него равен половине гипотенузы, тогда гипотенуза КМ=7×2=14см.

Найдём ОМ по теореме Пифагора:

ОМ²=КМ²-КО²=14²-7²=196-49=147

ОМ=√147=7√3см

Так как ∆СОД равнобедренный прямоугольный, то ОМ является его медианой, а медиана проведённая из вершины прямого угла равна половине гипотенузы СД, поэтому СД=7√3×2=14√3см

Теперь найдём площадь основания по формуле квадрата:

S=a²=(14√3)²=196×3=588см²

Найдём площадь боковой грани по формуле:

Sбок.гр=½×СД×КМ=½×14√3×14=98см²

Таких граней 3 поэтому:

Sбок.пов=98×3=294см²

Sпол=Sосн+Sбок.пов=588+294=882см²

Теперь найдём объем пирамиды зная площадь основания и высоту по формуле:

V=⅓×Sосн×КО=⅓×588×7=1372см³

Answer 2

Чтобы решить эту задачу, нам понадобятся некоторые геометрические знания о правильных пирамидах.

Дано:

• Угол между апофемой и плоскостью основания: 30 градусов.
• Высота пирамиды (расстояние от вершины до плоскости основания): 7 см.

1. Найдем длину апофемы (расстояния от вершины пирамиды до центра основания):

   В правильной пирамиде апофема, высота и биссектриса боковой грани образуют прямоугольный треугольник. Половина биссектрисы этого треугольника будет равна половине длины апофемы. Так как биссектриса делит угол боковой грани пополам, то у нас есть два прямоугольных треугольника: один с углом 30 градусов и гипотенузой 7 см (высотой пирамиды), и другой с углом 15 градусов (половина от 30) и неизвестной гипотенузой (половина апофемы).

   Мы можем использовать тригонометрию для нахождения половины апофемы:

   $\tan(15^\circ) = \frac{\text{половина апофемы}}{7}$.

   Решая это уравнение относительно половины апофемы, получим:

   Половина апофемы = $7 \cdot \tan(15^\circ)$.

2. Теперь, когда у нас есть половина апофемы, мы можем найти площадь полной поверхности пирамиды и её объем:

   Площадь полной поверхности пирамиды включает в себя площадь основания и площадь боковой поверхности.

   Площадь основания: Для правильной четырехугольной пирамиды это просто площадь квадрата со стороной, равной длине стороны основания. Высота пирамиды в данной задаче равна стороне квадрата, так как основание и высота образуют прямоугольный треугольник. Площадь основания равна $7 \times 7$.

   Площадь боковой поверхности: Это площадь четырех треугольников, образованных боковыми гранями пирамиды. Площадь каждого треугольника можно вычислить, зная длину стороны основания (равную половине апофемы) и высоту пирамиды.

   Теперь, зная площадь основания и боковую поверхность, можно найти площадь полной поверхности пирамиды.

   Объем пирамиды: Объем пирамиды можно вычислить с помощью формулы $V = \frac{1}{3} \times \text{Площадь основания} \times \text{Высота пирамиды}$.

3. Подставив известные значения и выполните вычисления.

   Например, для вычисления половины апофемы: $7 \cdot \tan(15^\circ)$.

   Затем используйте найденные значения для расчета площади полной поверхности и объема пирамиды.

Обратите внимание, что значения должны быть выражены в одинаковых единицах измерения (см или другие).