Question

Через вершину конуса проведена плоскость, пересекающая основание по хорде, длина которой равна 5 см, и стягивающая дугу 90° . Плоскость сечения составляет с плоскостью основания угол 60°. Найти площадь боковой поверхности конуса. С обоснованием шагов решения.

Answer 1

Ответ:

31.25π√2

Объяснение:

1. Боковая поверхность конуса равна произведению числа π на радиус конуса и его образующую: S=πRL

Хорда АС = 5см. Дуга ∩АС=90°

∠АОС - центральный угол.

• Центральный угол — это угол, вершина которого лежит в центре окружности. Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается. ⇒ ∠АОС=90°

Проведём OD⊥AC. Т.к. ОВ⊥OD - как высота конуса, то по теореме о трёх перпендикулярах ВD⊥АС. ∠ВDО=60°, как угол между сечением (АВС) и плоскостью основания конуса.

ΔАОС-равнобедренный, т.к. АО=ОС=R, в равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию является также медианой ⇒АD=DС=2,5 см

В равнобедренном Δ углы при основании равны: ∠А=∠С=90/2=45°

Рассмотрим прямоугольный ΔАDО(∠D=90°). ∠DOA=∠DAO=45° ⇒

ΔАDО - равнобедренный. По свойству равнобедренного Δ: DO=АD=2,5см

$cos (A) = \dfrac{AD}{OA} \\\\cos (45) = \dfrac{2.5}{R} \\\\\frac{\sqrt{2} }{2} =\dfrac{2.5}{R} \\\\\\R=\dfrac{5}{\sqrt{2} }$

Рассмотрим прямоугольный ΔOBD(∠O=90°).

∠OBD=90-∠ВDО=90-60°=30°, напротив угла в 30° лежит катет, равный половине гипотенузы ⇒BD=2*DO=5 см

Рассмотрим прямоугольный ΔCBD(∠D=90°). По теореме Пифагора найдём образующую конуса ВС:

$L=BC=\sqrt{BD^{2} +DC^{2} } =\sqrt{5^{2}+2.5^{2} } =\sqrt{156.25} =12.5$

Тогда боковая поверхность конуса:

$S=\pi RL=\pi *\frac{5}{\sqrt{2} } *12.5=\pi *2.5\sqrt{2} *12.5=31.25\pi \sqrt{2}$

Answer 2

Давайте разберемся с этой задачей. Для начала, давайте обозначим следующие величины:

• $AB$ - хорда, проведенная плоскостью сечения через вершину конуса. Длина $AB$ равна 5 см.
• $O$ - вершина конуса.
• $M$ - середина хорды $AB$.
• $N$ - точка пересечения плоскости сечения с основанием конуса.
• $P$ - точка пересечения хорды $AB$ с боковой поверхностью конуса.
• $Q$ - точка на боковой поверхности конуса, такая что $OQ$ перпендикулярно $AB$.

Теперь, давайте рассмотрим треугольник $OQN$. У нас есть следующие данные:

1. Угол $OQN$ равен 60° (плоскость сечения составляет угол 60° с плоскостью основания).
2. $OQ$ - это высота конуса в треугольнике $OQN$.
3. $QN$ - это радиус основания конуса.

Таким образом, у нас есть прямоугольный треугольник $OQN$, в котором известны угол и одна из катетов. Мы можем использовать тригонометрию, чтобы найти $OQ$:

$\tan(60^\circ) = \frac{OQ}{QN}$ $OQ = QN \cdot \tan(60^\circ)$

Теперь давайте рассмотрим треугольник $OPQ$. Мы знаем, что $OM$ - это половина хорды $AB$, а значит $OM = \frac{5}{2}$ см. Мы также знаем, что $OQ = QN \cdot \tan(60^\circ)$. Из этого мы можем найти $MP$:

$MP = OM - OQ = \frac{5}{2} - QN \cdot \tan(60^\circ)$

Так как точка $P$ лежит на боковой поверхности конуса, $OP$ будет радиусом боковой поверхности конуса в данной точке.

Теперь, площадь боковой поверхности конуса можно найти, зная длину окружности основания ($2\pi \cdot QN$) и радиус боковой поверхности ($OP$):

Площадь боковой поверхности $S$ = длина окружности основания $\cdot$ высота $OP$.

Подставив $OP$ как $MP$, мы получим:

$S = 2\pi \cdot QN \cdot \left(\frac{5}{2} - QN \cdot \tan(60^\circ)\right)$.

Теперь мы можем выразить $QN$ через известную хорду $AB$:

$QN = \frac{AB}{2 \cdot \sin(30^\circ)} = \frac{5}{2 \cdot \frac{1}{2}} = 5$.

Подставляя это значение обратно в уравнение для $S$:

$S = 2\pi \cdot 5 \cdot \left(\frac{5}{2} - 5 \cdot \tan(60^\circ)\right)$.

Подсчитав это выражение, вы найдете площадь боковой поверхности конуса.