Question

1. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 6, а высота 8, найти Ctg между боковым ребром и плоскостью основания пирамиды.2. Апофема правильной четырехугольной пирамиды 7, радиус описанной около основания окружности 4. найти cos двугранного угла при основании пирамиды3. Высота цилиндра на 2см меньше его радуса. Площадь боковой поверхонсти цилиндра 160псм2. 1) Найти площадь осевого сечения цилиндра. 2) площадь сечения цилиндра проведенного паралельно на расстоянии 6см от ее оси4)Сечение конуса проходящее через вершину имеет площадь 16 см2 и пересекает основание по хорде. Образующая конуса составляет с этой хордой угол 75градусов, а с высотой 30градусов а) Найти площадь осевого сечения конуса б)Площадь полной поверхности конуса

Answer 1

1. В основании правильной треугольной пирамиды - правильный треугольник, а высота проецируется в его центр.
SO - высота пирамиды, ОС - проекция SC на плоскость основания, значит ∠SCO - угол наклона бокового ребра к плоскости основания - искомый.
ОС - радиус окружности, описанной около правильного треугольника:
ОС = АВ√3/2 = 6√3/3 = 2√3.
ΔSOC: ∠SOC = 90°, ctg∠SCO = OC / SO = 2√3 / 8 = √3/4

2.  Основание правильной четырехугольной пирамиды - квадрат, боковые грани - равнобедренные треугольники.
Пусть Н - середина CD, тогда SH - медиана и высота равнобедренного треугольника SDC, ОН - средняя линия ΔADC, ⇒ ОН║AD, ⇒ OH⊥CD.
Значит ∠SHO - линейный угол двугранного угла наклона боковой грани к основанию - искомый.
Радиус окружности, описанной около квадрата, равен половине его диагонали, значит АС = 8.
АС = АВ√2 ⇒ АВ = АС/√2 = 8 / √2 = 4√2 - сторона квадрата
ОН = AD/2 = 2√2
ΔSOH: ∠SOH = 90°, cos∠SHO = OH / SH = 2√2/7

3. Sбок  = 2πRH = 160π см² ⇒ 2RH = 160 см²
ABCD - осевое сечение.
Sabcd = 2R·H = 160 см²
ABEF - сечение, параллельное оси и отстоящее от нее на 6 см.
Так как H = R - 2,то
2R(R - 2) = 160
R² - 2R - 80 = 0
D = 4 + 320 = 324
R = (2 + 18)/2 = 10  см      R = (2 - 18)/2 = - 8 - не подходит по смыслу задачи
H = 10 - 2 = 8 см
Если Н -середина ВЕ, то ОН = 6 см - расстояние от оси до сечения.
ΔОНВ: ∠ОНВ = 90°, по теореме Пифагора
             НВ = √(ОВ² - ОН²) = √(100 - 36) = 8 см
ВЕ = 2НВ = 16 см
Sabef = BE · H = 16 · 8 = 128 см²

4. ΔАВС - данное сечение - равнобедренный треугольник (АВ = АС = l  образующие)
∠АВС = ∠АСВ = 75°, ⇒ ∠ВАС = 30°.
Sabc = 1/2 · AB · AC · sin ∠BAC = 16 см²
l² · sin30° = 32
l² = 64
l = 8 cм
ΔАОВ: ∠ВАО = 30° по условию.
             cos∠BAO = AO/AB
             cos30° = h/l ⇒  h = l · cos30° = 8√3/2 = 4√3 см
             r = OB = AB · sin30° = 8 · 1/2 = 4 см
Площадь осевого сечения:
Sakc = 1/2 · KC · AO = r · h = 16√3 см²
Sполн = πr(l + r) = π · 4 · (8 + 4) = 48π см²

Answer 2

1. Найдем ctg между боковым ребром и плоскостью основания пирамиды: В данном случае, сторона основания равна 6 и высота равна 8. По теореме Пифагора, длина бокового ребра можно найти следующим образом: a = sqrt(b^2 + h^2) где a - длина бокового ребра, b - половина стороны основания, h - высота пирамиды. Подставляем известные значения: a = sqrt(6^2 + 8^2) = sqrt(36 + 64) = sqrt(100) = 10 Теперь найдем ctg угла между боковым ребром и плоскостью основания: ctg(angle) = b/h ctg(angle) = 6/8 = 0.75

2. Найдем cos двугранного угла при основании пирамиды: В данном случае, апофема пирамиды равна 7 и радиус описанной около основания окружности равен 4. С помощью теоремы Пифагора, мы можем найти длину боковой грани пирамиды: a = sqrt(r^2 + h^2) где a - длина боковой грани, r - радиус описанной около основания окружности, h - апофема пирамиды. Подставляем известные значения: a = sqrt(4^2 + 7^2) = sqrt(16 + 49) = sqrt(65) Теперь найдем cos двугранного угла при основании: cos(angle) = r/a cos(angle) = 4/sqrt(65)

3. Найдем площадь боковой поверхности цилиндра: В данном случае, высота цилиндра на 2 см меньше его радиуса, и площадь боковой поверхности цилиндра равна 160 см^2. Площадь боковой поверхности цилиндра можно найти по формуле: S = 2πrh где S - площадь боковой поверхности, r - радиус цилиндра, h - высота цилиндра. Подставляем известные значения: 160 = 2πr(r-2) Решаем уравнение относительно r: 80 = πr^2 - 2πr^2 2πr^2 - πr^2 = 80 r^2 = 80/π r ≈ 5.06 Теперь найдем высоту цилиндра: h = r - 2 ≈ 3.06 1) Найдем площадь осевого сечения цилиндра: Площадь осевого сечения цилиндра равна квадрату его радиуса: S = πr^2 ≈ π(5.06)^2 ≈ 80.24 см^2 2) Найдем площадь сечения цилиндра, проведенного параллельно на расстоянии 6 см от его оси: В данном случае, имеем два круга с радиусами 5.06 см и 11.06 см (5.06 + 6), расстояние между которыми равно 6 см. Площадь сечения цилиндра можно найти по формуле: S = π(R^2 - r^2) где R - радиус внешнего круга, r - радиус внутреннего круга. Подставляем известные значения: S = π(11.06^2 - 5.06^2) ≈ 323.45 см^2

4. Найдем площадь осевого сечения конуса и площадь полной поверхности конуса: В данном случае, площадь сечения конуса, проходящего через вершину, равна 16 см^2. Образующая конуса составляет угол 75 градусов с хордой и угол 30 градусов с высотой. a) Найдем площадь осевого сечения конуса: Площадь осевого сечения конуса равна площади сечения, проходящего через вершину: S = 16 см^2 б) Найдем площадь полной поверхности конуса: Площадь полной поверхности конуса можно найти по формуле: S = πr(r + l) где S - площадь полной поверхности, r - радиус основания конуса, l - образующая конуса. Подставляем известные значения: Мы знаем, что угол между образующей конуса и хордой составляет 75 градусов, а угол между образующей и высотой составляет 30 градусов. Таким образом, мы можем найти длину образующей следующим образом: l = 2r * tan(75) l = 2 * 4 * tan(75) ≈ 16.68 Теперь подставляем значения: S = π * 4(4 + 16.68) ≈ 265.05 см^2

Таким образом, мы получили площадь осевого сечения конуса равной 16 см^2 и площадь полной поверхности конуса равной 265.05 см^2.