Question

Дано точки A(1 ; √3; 3) B( 1; 0; 2) C(-1; -1; 3) D(-1; 0; 3) Найти угол между векторами AB и CD

Answer 1

Дано точки A(1 ; √3; 3)   B( 1; 0; 2)    C(-1; -1; 3)     D(-1; 0; 3)

Найти угол между векторами AB и CD

Объяснение:

Координаты вектора АВ(1-1 ;0-√3 ;2-3)  или АВ(0;-√3-1)  ;

Координаты вектора CD(0 ;1;0).

Скалярным произведением двух ненулевых векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними: АВ*CD= |АВ|* |CD|*cos∠(АВ;CD) ,  

АВ*CD=0*0+(-√3)*1+(-1)*0=-√3 ,   ( скалярное произведение в координатах);

|АВ|=√( 0²+(-√3)²+(-1)²)=√(0+3+1)=2 ;

|CD|=√( 0²+1²+0²)=1,

Подставим   в  АВ*CD= |АВ|* |CD|*cos∠(АВ;CD) ,  

-√3=2*1*cos∠(АВ;CD) ,  cos∠(АВ;CD) =√3/2⇒    ∠(АВ;CD)=150°

Answer 2

Для нахождения угла между векторами AB и CD мы можем использовать формулу для косинуса угла между векторами:

cos(θ) = (AB · CD) / (||AB|| ||CD||),

где AB · CD - скалярное произведение векторов AB и CD, ||AB|| и ||CD|| - длины векторов AB и CD соответственно.

Для начала найдем векторы AB и CD:

AB = B - A = (1 - 1; 0 - √3; 2 - 3) = (0; -√3; -1),

CD = D - C = (-1 + 1; 0 - (-1); 3 - 3) = (0; 1; 0).

Теперь вычислим скалярное произведение AB и CD:

AB · CD = 0 * 0 + (-√3) * 1 + (-1) * 0 = -√3.

Теперь найдем длины векторов AB и CD:

||AB|| = √(0^2 + (-√3)^2 + (-1)^2) = √(3 + 3 + 1) = √7,

||CD|| = √(0^2 + 1^2 + 0^2) = √1 = 1.

Теперь можем использовать формулу для нахождения косинуса угла:

cos(θ) = (AB · CD) / (||AB|| ||CD||) = (-√3) / (√7 * 1) = -√3 / √7.

Найдем значение угла θ, используя арккосинус:

θ = arccos(-√3 / √7).

Таким образом, угол между векторами AB и CD равен arccos(-√3 / √7).