Question

Площадь основания правильной четырехугольной пирамиды 16 см и боковая поверхность 24 см в квадрате . Определить объем пирамиды.

Answer 1

Дано:

Правильная четырёхугольная пирамида.

S осн = 16 см²

S бок поверхности = 24 см²

Найти:

V - ?

Решение:

Н - высота.

h - апофема.

а - сторона основания.

"Правильный многоугольник - многоугольник, у которого все стороны и углы равны".

Так как данная пирамида - правильная, четырёхугольная => основание этой пирамиды - квадрат.

"Квадрат - геометрическая фигура, у которой все стороны равны".

S квадрата = а² = 16 см²

=> а = √16 = 4 см.

S бок поверхности = 1/2 * S квадрата * h = 2 * a * h = 24 см²

а = 4 см.

=> h = (24/2)/4 = 3 см.

ОК = 1/2а = 4/2 = 2 см.

Найдём высоту пирамиды Н, по теореме Пифагора: (с = √(a² + b²), где с - гипотенуза; а, b - катеты)

а = √(c² - b²) = √(3² - 2²) = √(9 - 4) = √5 = 2,23607 ≈ 2,2 см

Итак, Н ≈ 2,2 см.

V = 1/3 * a² * H = 16/3 * 2,2 ≈ 176/15 ≈ 11,73 см^3.

Ответ: ≈ 11,73 см^3.

Answer 2

Для нахождения объема правильной четырехугольной пирамиды, нам необходимо знать площадь её основания и высоту.

Известно, что площадь основания (S) равна 16 см², а боковая поверхность пирамиды (B) равна 24 см².

Боковая поверхность пирамиды состоит из четырёх равных треугольников. Так как пирамида правильная, то эти треугольники также правильные. Значит, можно предположить, что боковая поверхность состоит из четырёх равных равносторонних треугольников.

Площадь равностороннего треугольника можно вычислить по формуле: $S_{\text{треугольника}} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot a^2$, где $a$ - длина стороны треугольника.

Следовательно, площадь боковой поверхности пирамиды ($B$) равна: $B = 4 \cdot S_{\text{треугольника}} = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot a^2 = \sqrt{3} \cdot a^2$.

Так как $B = 24$, то: $24 = \sqrt{3} \cdot a^2$.

Решим это уравнение относительно $a$: $a^2 = \frac{24}{\sqrt{3}}$. $a^2 = 8\sqrt{3}$. $a = \sqrt{8\sqrt{3}}$. $a = 2\sqrt{2\sqrt{3}}$.

Объем правильной пирамиды можно вычислить по формуле: $V = \frac{1}{3} \cdot S_{\text{основания}} \cdot h$, где $S_{\text{основания}}$ - площадь основания, $h$ - высота пирамиды.

Так как $S_{\text{основания}} = 16$ и выразив высоту через длину стороны основания ($a$) и площадь боковой поверхности ($B$), получим: $h = \frac{B}{a} = \frac{24}{2\sqrt{2\sqrt{3}}} = \frac{12}{\sqrt{2\sqrt{3}}}$.

Теперь можем подставить значения в формулу для объема: $V = \frac{1}{3} \cdot 16 \cdot \frac{12}{\sqrt{2\sqrt{3}}} = \frac{192}{\sqrt{2\sqrt{3}}}$.

Это окончательное значение объема правильной четырехугольной пирамиды.