Question

Площадь основания конуса 25π см^2, площадь полной поверхности его 90π см^2. Найти объем конуса. Желательно с рисунком.

Answer 1

Дано:

Конус.

S осн = 25п см²

S полн поверхности = 90п см²

Найти:

V - ?

Решение:

S осн = пR² = 25п см²

=> R = √(25)п = 5 см

S полн поверхности = пR(R + l) = п * 5(5 + l) = 90п см²

Составим уравнение и будем использовать формулу нахождения полной поверхности конуса:

Пусть х - образующая l.

Число п не нужно в данном уравнении, так как видно, что при нахождении площади полной поверхности, оно не вычислялось:

5(5 + х) = 90

25 + 5х = 90

5х = 65

х = 13

Итак, l = 13 см

V = 1/3пR²h

Найдём высоту h, с помощью теоремы Пифагора:

с² = а² + b²

a = √(c² - b²) = √(13² - 5²) = √(169 - 25) = √144 = 12 см

Итак, h = 12 см

V = п(1/3 * 5² * 12) = п(4 * 25) = 100п см^3

Ответ: 100п см^3.

Answer 2

Для решения данной задачи нам нужно использовать формулы, связанные с площадью основания и полной поверхностью конуса. Первым шагом найдем радиус основания конуса.

Площадь основания конуса: $A_{\text{осн}} = 25\pi \, \text{см}^2$

Площадь полной поверхности конуса: $A_{\text{полн}} = 90\pi \, \text{см}^2$

Площадь полной поверхности конуса можно разбить на две составляющие: площадь основания и площадь боковой поверхности.

Площадь полной поверхности конуса: $A_{\text{полн}} = A_{\text{осн}} + A_{\text{бок}}$

Площадь боковой поверхности конуса можно выразить через радиус основания $r$, радиус образующей $l$ и π:

$A_{\text{бок}} = \frac{1}{2} \cdot l \cdot P$

Где $P$ - периметр основания, который равен $2\pi r$, а $l$ - образующая конуса.

Из вышесказанного, мы можем составить уравнение:

$90\pi = 25\pi + \frac{1}{2} \cdot l \cdot 2\pi r$

Упростим это уравнение:

$90 = 25 + l \cdot r$

Теперь мы знаем, что $l \cdot r = 65$.

Также мы знаем, что площадь боковой поверхности $A_{\text{бок}}$ можно выразить как $A_{\text{бок}} = \pi r l$, подставив значение $l \cdot r$, получим:

$A_{\text{бок}} = 65\pi$

Теперь мы можем найти радиус основания $r$ по формуле:

$A_{\text{осн}} = \pi r^2$

$25\pi = \pi r^2$

Отсюда $r^2 = 25$ и, следовательно, $r = 5 \, \text{см}$.

Теперь мы можем найти образующую $l$:

$l \cdot r = 65$

$l \cdot 5 = 65$

$l = 13 \, \text{см}$

Теперь, чтобы найти объем конуса, используем формулу:

$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$

Где $h$ - высота конуса. Поскольку в данной задаче высота не задана, но нам известна образующая $l$, мы можем использовать теорему Пифагора для вычисления высоты:

$h^2 = l^2 - r^2$

$h^2 = 13^2 - 5^2$

$h^2 = 144$

$h = 12 \, \text{см}$

Теперь, подставив значения в формулу для объема:

$V = \frac{1}{3} \pi \cdot 5^2 \cdot 12 = \frac{1}{3} \pi \cdot 300 = 100\pi \, \text{см}^3$

Итак, объем конуса составляет $100\pi \, \text{см}^3$.

Что касается рисунка, я не имею возможности создавать изображения, но вы можете нарисовать конус с указанными параметрами с помощью графических инструментов, предоставляемых вам компьютером или мобильным устройством.