Question

В выпуклом четырехугольнике ABCD : ∠B=∠C=60°, AD=21, BC=40. Oкружность с центром на стороне BC касается сторон AB, AD и CD. Найдите длины сторон AB и CD.​

Answer 1

Решение задания прилагаю

Answer 2

Обозначим центр окружности как O. Так как окружность касается сторон AB, AD и CD, то радиус окружности равен расстоянию от центра O до каждой из этих сторон.

Поскольку ∠B = ∠C = 60°, треугольник ABC является равносторонним. Таким образом, AB = AC = BC = 40.

Рассмотрим треугольник AOD, где AO - радиус окружности. Он касается стороны AD в точке D, поэтому AD - это сумма радиуса AO и отрезка OD. Также, так как ∠B = 60°, то ∠A = 180° - 60° - 60° = 60°. Таким образом, треугольник AOD также является равносторонним.

Из этого следует, что AD = AO + OD = AO + AO = 2 * AO.

Мы также можем рассмотреть треугольник COD, в котором OC - радиус окружности. Он касается стороны CD в точке D, поэтому CD - это сумма радиуса OC и отрезка OD. Таким образом, так как ∠C = 60°, треугольник COD является равносторонним.

Из этого следует, что CD = OC + OD = AO + OD = 2 * AO.

Таким образом, мы видим, что AD = CD = 2 * AO.

Мы знаем, что треугольник AOC также равносторонний, так как ∠C = 60°, и он имеет равные стороны AO и OC, которые являются радиусами окружности.

Из этого следует, что AO = OC = AC / 2 = 40 / 2 = 20.

Так как AD = CD = 2 * AO, то AD = CD = 2 * 20 = 40.

Итак, длины сторон AB и CD равны 40.