Question

Осевым сечением цилиндра является прямоугольник, диагональ которого равна 13 дм. Найдите высоту и площадь основания цилиндра, если известно, что диаметр основания на 7 дм больше высоты.

Answer 1

Если  D - диаметр основания, а h - высота  цилиндра, то значит

диагональ сечения (прямоугольника) - гипотенуза прямоугольного треугольника "c ".

с²=D²+h²

D=h+7

c²=(h+7)² + h²

13²=h²+14h+49+h²

2h²+14h+49-169=0

2h²+14h-120=0

h²+7h-60=0

h1*h2=-60;   h1+h2=-7

h1=-12;  h2=5  ⇒  h=5 дм

D=5+7=12 дм;  R=6 дм

S(основ.)=πR²=36π дм².

Ответ: h=5 дм; S=36π дм².

Answer 2

Пусть $h$ - высота цилиндра, а $d$ - диаметр его основания. Тогда, согласно данной информации, у нас есть два уравнения:

1. $d = h + 7$ (так как диаметр на 7 дм больше высоты).

2. Диагональ прямоугольника (который является осевым сечением цилиндра) равна 13 дм. Диагональ прямоугольника равна гипотенузе, а высота и ширина прямоугольника - катетам прямоугольного треугольника. Таким образом, по теореме Пифагора:

   $h^2 + (d/2)^2 = 13^2$

   $h^2 + (h + 7)/2^2 = 169$

   $h^2 + \frac{h^2 + 14h + 49}{4} = 169$

   $4h^2 + h^2 + 14h + 49 = 676$

   $5h^2 + 14h - 627 = 0$

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение относительно $h$. Используя квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$, где $a = 5$, $b = 14$ и $c = -627$, используем формулу для вычисления корней:

$h = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Подставляя значения, получим:

$h = \frac{-14 \pm \sqrt{14^2 - 4 \cdot 5 \cdot -627}}{2 \cdot 5}$

$h = \frac{-14 \pm \sqrt{196 + 12540}}{10}$

$h = \frac{-14 \pm \sqrt{12736}}{10}$

$h = \frac{-14 \pm 112}{10}$

Значения $h$ не могут быть отрицательными, поэтому берём только положительный корень:

$h = \frac{98}{10} = 9.8 \, \text{дм}$

Теперь, используя первое уравнение $d = h + 7$, мы можем найти диаметр:

$d = 9.8 + 7 = 16.8 \, \text{дм}$

Площадь основания цилиндра $S$ равна $\frac{\pi d^2}{4}$, где $d$ - диаметр основания:

$S = \frac{\pi \cdot 16.8^2}{4} \approx 279.93 \, \text{дм}^2$

Таким образом, высота цилиндра составляет примерно $9.8$ дм, а площадь его основания - примерно $279.93$ дм².