Question

Образующая конуса равна 6 см, угол при вершине осевого сечения равен 30 градусов. Найдите площадь основания конуса

Answer 1

Дано:

конус

l (ВМ) = 6 см (образующая)

∠ВМО = 30°

Найти:

S осн - ?

Решение:

Осевое сечение конуса (секущая проходит через ось конуса) - равнобедренный треугольник, а высота Н (МО) разделяет этот треугольник на два прямоугольных треугольника.

sin(1/2 * 30˚) = R/l

sin(15˚) = R/6

sin(45˚ - 30˚) = R/6

sin(45˚) cos(30˚) - cos(45˚) sin(30˚) = R/6

(√2/3) * (√3/2) - (√2/2) * 1/2 = R/6

(√6/4) - (√2/4) = R/6

((√6) - (√2)) * 6 = 4R

(6√6) - (6√2) = 4R

4R= 6√6 - 6√2

R = (3√6) - (3√2)/2

Итак, ВО (R) = (3√6) - (3√2)/2

S осн = пR²

S осн = п((3√6) - (3√2)/2)² = 18 - 9√3п см²

Ответ: 18 - 9√3п см²

Answer 2

Для нахождения площади основания конуса (S) нам нужно знать радиус основания (r). Дана образующая конуса (l) и угол при вершине осевого сечения (α).

В данном случае, у нас есть образующая (l = 6 см) и угол при вершине (α = 30°). Мы можем использовать тригонометрические соотношения для нахождения радиуса основания (r) конуса.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный образующей конуса (гипотенуза) и радиусом основания (половина стороны осевого сечения) (r). Угол между образующей и радиусом основания равен половине угла при вершине (15°).

Используя тригонометрический соотношения для синуса, мы можем записать:

sin(15°) = r / l

Отсюда можно выразить радиус основания (r):

r = l * sin(15°)

Подставляя значение образующей (l = 6 см):

r = 6 см * sin(15°)

Вычислив sin(15°) (приближенно равен 0.258819), получим:

r ≈ 6 см * 0.258819 ≈ 1.553 cm

Теперь, чтобы найти площадь основания конуса, мы можем использовать формулу для площади круга:

S = π * r^2

Подставляя значение радиуса (r ≈ 1.553 cm):

S ≈ π * (1.553 cm)^2 ≈ 7.546 cm²

Итак, площадь основания конуса составляет примерно 7.546 квадратных сантиметра.