Question

Даю 60 баллов! Тема 14. Вектор. Довжина і напрям вектора. Сума векторів та її властивості. Координати вектора на площині. Скалярний добуток векторів та його властивості. Проекція вектора на осі координат. Тема 15. Система координат на площині. Формула відстані між двома точками площини. Рівняння прямої і кола.

Answer 1

Тема 14

Вектор - це напрямлений відрізок, тобто відрізок, який має довжину і певний напрямок. Графічно вектори зображуються у вигляді напрямлених відрізків прямої певної довжини.

Довжина напрямленого відрізка визначає числове значення вектора і називається довжиною вектора або модулем вектора AB.

Для позначення довжини вектора використовують дві вертикальні лінії зліва і справа |AB|.

Вектори, паралельні одній прямій або які лежать на одній прямій називають колінеарними векторами

Два колінеарних вектора a і b називаються Співнаправленими векторами, якщо їх напрямки співпадають: a↑↑b

Додавання векторів (сума векторів) a + b - це операція знаходження вектора c, всі елементи, якого дорівнюють попарній сумі відповідних елементів векторів a і b, тобто кожен елемент вектора c дорівнює:

с = a + b(це вектори, просто додаються)

Властивості:

Формули додавання і віднімання векторів для плоских задач

У випадку плоскої задачі суму та різницю векторів a = {ax ; ay} і b = {bx ; by} можна знайти скориставшись наступними формулами:

a + b = {ax + bx; ay + by}

a - b = {ax - bx; ay - by}

Формули додавання і віднімання векторів для просторових задач

У випадку просторової задачі суму та різницю векторів a = {ax ; ay ; az} і b = {bx ; by ; bz} можна знайти скориставшись наступними формулами:

a + b = {ax + bx; ay + by; az + bz}

a - b = {ax - bx; ay - by; az - bz}

Формули додавання і віднімання n -вимірних векторів

У випадку n -вимірного простору суму та різницю векторів a = {a1 ; a2 ; ... ; an} і b = {b1 ; b2 ; ... ; bn} можна знайти скориставшись наступними формулами:

a + b = {a1 + b1; a2 + b2; ... ; an + bn}

a - b = {a1 - b1; a2 - b2; ... ; an - bn}

Скалярним добутком двох векторів a і b буде скалярна величина, яка дорівнює добутку модулів цих векторів помноженому на косинус кута між ними:

a · b = |a| · |b| cos α(над векторами ще мають бути рисочки, просто в мене не виходить написати)

Скалярним добутком(інше визначення) двох векторів a і b буде скалярна величина, яка дорівнює сумі попарного добутку відповідних координат векторів a і b.

Властивості скалярного добутку векторів

Скалярний добуток вектора самого на себе завжди більше або дорівнює нулю:

a · a ≥ 0

Скалярний добуток вектора самого на себе дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли вектор дорівнює нульовому вектору:

a · a = 0   <=>   a = 0

Скалярний добуток вектора самого на себе дорівнює квадрату його модуля:

a · a = |a|2

Операція скалярного добутку комутативна:

a · b = b · a

Якщо скалярний добуток двох не нульових векторів дорівнює нулю, то ці вектори ортогональні:

a ≠ 0, b ≠ 0, a · b = 0   <=>   a ┴ b

(αa) · b = α(a · b)

Операція скалярного добутку дистрибутивна:

(a + b) · c = a · c + b · c

Проекцією вектора AB на вісь l називається число, що дорівнює величині відрізку AlBl вісі l, де точки Al і Bl є проекціями точок A і B на вісь l.

Проекцією вектора a на напрямок вектору b , називається число, яке дорівнює величині проекції вектора a на вісь, що проходить через вектор b.

Малюнок прикріплено)

Тема 15

Система координат — спосіб задання точок простору за допомогою чисел. Кількість чисел, необхідних для однозначного визначення будь-якої точки простору, визначає його вимірність. Ці числа називають координатами. Координати на площині і в тривимірному просторі можна задавати багатьма різними способами.

Малюнок прикріплено)

Формула для знаходження відстані між двома точками прикріплена)

Рівняння прямої і кола також прикріплено)

Answer 2

Дякую за надані бали! Звучить, що ви запитуєте про математичні поняття та властивості, пов'язані з векторами, системою координат на площині, відстанню між точками, рівняннями прямих та кола. Давайте розглянемо кожну тему детальніше:

Тема 14. Вектори:

• Вектор - це геометричний об'єкт, який характеризується довжиною та напрямом.
• Довжина вектора обчислюється за допомогою формули: довжина = √(x² + y²), де x та y - координати вектора на площині.
• Вектор можна визначити як напрямлений відрізок, вказуючи початкову та кінцеву точки.
• Сума векторів визначається як вектор, який з'єднує початок першого вектора з кінцем другого.
• Властивості суми векторів включають комутативність (a + b = b + a) та асоціативність ((a + b) + c = a + (b + c)).

Координати вектора на площині:

• Вектор можна представити за допомогою координат (x, y), де x - горизонтальна координата, а y - вертикальна координата.

Скалярний добуток векторів:

• Скалярний добуток векторів обчислюється за формулою: a ⋅ b = |a| ⋅ |b| ⋅ cos(θ), де |a| та |b| - довжини векторів, а θ - кут між векторами.
• Скалярний добуток використовується для обчислення проекції вектора на інший вектор.

Проекція вектора на осі координат:

• Проекція вектора a на вісь x обчислюється як aₓ = |a| ⋅ cos(θ), де θ - кут між вектором a та позитивним напрямом вісі x.
• Проекція вектора a на вісь y обчислюється як aᵧ = |a| ⋅ sin(θ), де θ - кут між вектором a та позитивним напрямом вісі y.

Тема 15. Система координат на площині:

• Система координат на площині включає дві перпендикулярні вісі: вісь x та вісь y. Точка перетину вісей називається початком координат або точкою (0, 0).

Формула відстані між двома точками:

• Відстань між точкою A (x₁, y₁) та точкою B (x₂, y₂) обчислюється за формулою: d = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²).

Рівняння прямих та кола:

• Рівняння прямої у вигляді y = mx + b, де m - коефіцієнт нахилу, b - зсув по вертикалі (значення y, коли x = 0).
• Рівняння кола у вигляді (x - h)² + (y - k)² = r², де (h, k) - координати центра кола, r - радіус.

Ці концепції та формули є основами геометрії та лінійної алгебри, і вони широко використовуються в математиці та наукових дисциплінах.