Question

4. Радиус цилиндра 12 см, диагональ осевого сечения 30 см. Найдите: а) высоту цилиндра; б) площадь осевого сечения; в) площадь боковой поверхности; г) площадь полной поверхности цилиндра. 5. Образующая конуса равна 22 см и наклонена к плоскости основания под углом 60о . Найдите: а) площадь основания конуса; б) площадь боковой поверхности конуса.

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

Осевое сечение цилиндра - это прямоугольник. Диагональ осевого сечения - это диагональ прямоугольника, которая образует со сторонами прямоугольника два прямоугольных треугольника. По сути, диагональ - это гипотенуза, а радиус цилиндра - это один из катетов. Согласно теореме Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Значит:

Диаметр равен двойному радиусу, т.е d=2*r=2*12=24см

пишу 30*30, но это 30 в квадрате

h - это высота

30*30 = 24*24+h*h

отсюда высота равна корню из разности квадратов гипотенузы и катетов или корню из квадратов разности диагонали осевого сечения и диаметра

h = корень из 30*3-24*24 = корень из 324 = 18см (высота цилиндра

Площадь осевого сечения, это площадь прямоугольника со сторонами равными высоте и диаметру цилиндра

Sо=d*h = 24*18= 432кв. см.

Площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению высоты цилиндра на длину окружности основания

Sб = 2*π*r*h=2*3.14*r*h

Sб = 2 * 3,14 * 12 * 18 = 1356,48 кв. см

Площадь полной поверхности цилиндра равна площадь вершины цилиндра + площадь основания цилиндра + площадь боковой поверхности цилиндра или S = πr2 + πr2 + 2πrh = 2πr2 + 2πrh. Иногда это выражение записывается идентичной формулой 2πr (r + h).

Sп = 2*3,14*12 * (12+18) = 2260,8 кв.см

2 Конус

Образующая конуса, это по сути гипотенуза в прямоугольном треугольнике, вершина которого находится в центре окружности основания и в вершине конуса.

Найдем радиус, он будет одним из катетов прямоугольного треугольника, образованного высотой, касательной и радиусом конуса..  

Косинус - это отношение прилежащего катета к гипотенузе. Косинус 60 градусов равен 1/2

r - радиус

Тогда r : 22 = 1/2

r = 22*1/2=11см

Площадь S= π* r^2= πi *11*11= π * 121 = 3,14*121 = 379,94 кв.см

Площадь боковой поверхности конуса равна произведению числа π на радиус окружности основания и на длину образующей конуса. где r - радиус окружности основания, l - длина образующей конуса.

S = π*r*l= 3.14 * 11 * 22 = 759.88 кв. см

Answer 2

Давайте решим каждую задачу по порядку:

Задача 4:

a) Высота цилиндра (h) можно найти с использованием теоремы Пифагора для треугольника, образованного радиусом (r), половиной диагонали осевого сечения (половиной диагонали основания) и высотой цилиндра (h):

$$r^2 + \left(\frac{d}{2}\right)^2 = h^2$$

где $d = 30$ см (диагональ осевого сечения) и $r = 12$ см (радиус цилиндра).

Подставляем известные значения:

$$12^2 + \left(\frac{30}{2}\right)^2 = h^2$$

$$144 + 225 = h^2$$

$$369 = h^2$$

$$h = \sqrt{369} \approx 19.24 \text{ см}$$

б) Площадь осевого сечения (S) можно найти, используя площадь треугольника, образованного половиной диагонали осевого сечения и высотой цилиндра:

$$S = \frac{1}{2} \cdot \text{диагональ} \cdot \text{высота} = \frac{1}{2} \cdot 30 \cdot 19.24 \approx 288.6 \text{ см}^2$$

в) Площадь боковой поверхности цилиндра можно найти, используя формулу $S_{\text{бок}} = 2\pi r h$, где $r = 12$ см и $h \approx 19.24$ см:

$$S_{\text{бок}} = 2\pi \cdot 12 \cdot 19.24 \approx 1455.3 \text{ см}^2$$

г) Площадь полной поверхности цилиндра (S_{\text{полн}}) можно найти, складывая площадь боковой поверхности и площадь двух оснований (кругов):

$$S_{\text{полн}} = S_{\text{бок}} + 2\pi r^2 = 1455.3 + 2\pi \cdot 12^2 \approx 2161.7 \text{ см}^2$$

Задача 5:

a) Площадь основания конуса (S_{\text{осн}}) можно найти, используя формулу для площади круга ($S_{\text{осн}} = \pi r^2$), где радиус $r$ можно найти, разделив длину образующей на $2$ (половина диагонали основания):

$$r = \frac{\text{длина образующей}}{2} = \frac{22}{2} = 11 \text{ см}$$

Теперь можем найти площадь основания:

$$S_{\text{осн}} = \pi \cdot 11^2 \approx 380.13 \text{ см}^2$$

б) Площадь боковой поверхности конуса (S_{\text{бок}}) можно найти, используя образующую $l$ и радиус $r$:

$$S_{\text{бок}} = \pi r l$$

Образующая $l$ дана (22 см), а радиус $r$ мы уже нашли (11 см):

$$S_{\text{бок}} = \pi \cdot 11 \cdot 22 \approx 766.05 \text{ см}^2$$

Таким образом, площадь боковой поверхности конуса составляет примерно 766.05 см².