Question

Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 600 см, боковое ребро с плоскостью основания образует угол 30°. Вычисли высоту пирамиды.

Answer 1

Ответ: ДН=200см

Объяснение: обозначим вершины пирамиды А В С Д, высоту ДН. В основании правильной треугольной пирамиды лежит равносторонний треугольник. Проведём в основании высоту АК. Высота равностороннего треугольника вычисляется по формуле:

АК=√3/2×АС=600×√3/2=600√3/2=

=300√3см.

Высота в равностороннем треугольнике также является медианой. Медианы, пересекаясь в точке Н делятся в соотношении 2:1, начиная от вершины треугольника. Пусть КН=х, а АН=2х, составим уравнение:

х+2х=300√3

3х=300√3

х=300√3÷3

х=100√3см - это КН, тогда

АН=2×100√3=200√3см

Рассмотрим ∆АДН, он прямоугольный АН и ДН - катеты, АД - гипотенуза. Найдём ДН через котангенс угла. Котангенс угла - это отношение прилежащего к углу катета к противолежащему от угла катету, поэтому:

ДН=АН/ctg30°=200√3/√3=200см

Answer 2

Высоту пирамиды можно найти, используя информацию о боковом ребре и угле, который оно образует с плоскостью основания. Давайте обозначим высоту пирамиды как $h$.

В данном случае у нас есть прямоугольный треугольник, образованный боковым ребром пирамиды, его половиной высоты и половиной стороны основания. Угол между боковым ребром и плоскостью основания составляет 30°. Таким образом, можно составить следующее соотношение:

$\tan(30^\circ) = \frac{\text{половина высоты}}{\text{половина стороны основания}}$

Решим это уравнение для высоты $h$:

$\tan(30^\circ) = \frac{h}{\frac{600}{2}}$

$\sqrt{3} = \frac{h}{300}$

$h = 300\sqrt{3} \approx 519.6$ см

Высота пирамиды составляет около 519.6 см.