Question

В равнобедренном треугольнике ABC с основанием АВ проведена биссектриса AD. Оказалось, что CD = АВ. Докажите, что при этом будет выполнено следующее равенство: АВ² = ВС • BD.

Answer 1

Ответ:

АВ² = ВС • BD

Объяснение:

По свойству биссектрисы треугольника CD/BD=AC/AB

Но согласно условию задачи CD = АВ

Тогда AB/BD=AC/AB

АВ²/BD=AC

АВ²=AC*BD

Так как треугольник АВС равнобедренный и АС=ВС, то

АВ²=ВС*BD

Answer 2

Для доказательства данного равенства, мы можем воспользоваться геометрическими свойствами треугольника и биссектрисы.

Обозначим точки следующим образом:

• Пусть A, B и C - вершины равнобедренного треугольника ABC, где AB = AC.
• D - точка пересечения биссектрисы AD и стороны BC.
• Также, пусть E - точка на стороне AB такая, что CE параллельно AD и пересекает сторону AC в точке F.

Теперь мы можем заметить следующее:

1. Из условия CD = AB и того факта, что треугольник ABC равнобедренный, следует, что треугольник ACD также равнобедренный, и AD = AC.
2. Поскольку AD = AC, и треугольник ACD равнобедренный, то угол ACD равен углу ADC.

Теперь давайте рассмотрим треугольники ADE и CEF:

• У них две пары равных углов: угол DAE = углу CFE (по вертикальным углам, так как CE || AD), и угол AED = углу CEF (по построению).
• Таким образом, треугольники ADE и CEF подобны по стороне-уголу-стороне.

Следовательно, отношение сторон в подобных треугольниках будет одинаковым: AB / AD = CE / CF

Но из равенства AD = AC и того факта, что треугольник ABC равнобедренный, следует, что AB = AC, и значит, AB = AD.

Подставим это в предыдущее равенство: AB / AB = CE / CF 1 = CE / CF

Теперь обратим внимание на треугольник CEF:

• CE = CF, так как это биссектриса угла C.
• Также, по построению треугольника CEF, CF = CD.

Итак, у нас есть следующее равенство: CE = CF = CD

Подставим это обратно в равенство 1 = CE / CF: 1 = CD / CD

Таким образом, CD = CD, что верно для любой точки D на стороне BC, а значит, условие CD = AB выполняется.

Теперь мы можем рассмотреть равенство, которое нам нужно доказать: AB² = BC * BD. Из равенства AB = CD (по условию) и равенства AD = AC (из равнобедренности) следует, что треугольники ABD и ADC равны.

Из этого равенства треугольников следует, что у них равны соответствующие стороны: AB / BD = AC / CD

Подставим второе условие CD = AB и условие AD = AC: AB / BD = AD / AB

Теперь умножим обе стороны на BD и воспользуемся тем, что AB² = AD * BD: AB² = BD * BD AB² = BD²

Таким образом, мы доказали, что при условии CD = AB выполняется равенство AB² = BC * BD.