Question

Одна з сторін трикутника дорівнює 30см, а друга сторона ділиться точкою дотику вписаного кола на відрізки завдовжки 12см і 14см, якщо рахуватись від кінця невідомої сторони. Знайдіть радіус вписаного кола. Допоможіть будь ласка розв’язати задачу ))))

Answer 1

Ответ:

8 см

Объяснение:

Пусть дан треугольник АВС.  АС=30см.  Обозначим точки касания вписанной окружности и сторон треугольника АС,  АВ и ВС соответственно К, Т, Р.

Тогда по условию задачи ВТ=12 см и АТ=14 см

Тогда АТ=АК= 14 см

КС= АС-АК=30-14=16 см

КС=РС=16 см

ВР=ВТ=12 см

Тогда АВ=АТ+ВТ=12+14=26 см, ВС =ВР+РС=12+16=28 см

Тогда периметр Р= 26+28+30=84 см

Тогда полупериметр р=Р:2=84:2=42

Тогда площадь треугольника по теореме Герона

S=sqrt(p*(p-a)*(p-b)*(p-c))= sqrt(42*12*14*16)=336

С другой стороны площадь треугольника может быть вычислена по формуле S=p*r=42*r=336

=> r=336/42

r=8

Answer 2

Задачу можна розв'язати за допомогою відомих властивостей вписаних кутів та відрізків у трикутнику.

Позначимо дані:

• $a = 30$ см - одна зі сторін трикутника.
• $b$ - друга сторона трикутника.
• $r$ - радіус вписаного кола.
• $x = 12$ см - відрізок, на який ділиться друга сторона трикутника від точки дотику вписаного кола.
• $y = 14$ см - другий відрізок на другій частині другої сторони трикутника.

З властивості вписаних кутів маємо: $\angle ABC = \frac{1}{2} \angle AOC,$ де $A$, $B$ і $C$ - вершини трикутника, $O$ - центр вписаного кола.

За теоремою про відстані від точки до дотику, маємо: $b = x + y = 12 + 14 = 26.$

Тепер можемо використовувати формулу для обчислення радіусу вписаного кола у трикутнику:

$r = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)},$

де $s$ - півпериметр трикутника, а $c$ - третя сторона трикутника.

Півпериметр $s$ можна обчислити як: $s = \frac{a+b+c}{2}.$

Таким чином, маємо: $s = \frac{30+26+r}{2}.$

Підставляючи значення $s$ в формулу для радіусу, маємо: $r = \sqrt{\frac{r+56}{2} \cdot \frac{r+4}{2} \cdot \frac{r+26}{2} \cdot \frac{r+16}{2}}.$

Спростимо це вираз: $r = \sqrt{\frac{(r+56)(r+4)(r+26)(r+16)}{16}}.$

Піднесемо обидві сторони рівняння до квадрату, щоб позбутися знака кореня: $r^2 = \frac{(r+56)(r+4)(r+26)(r+16)}{16}.$

Помножимо обидві сторони на 16, щоб позбутися від знаменника: $16r^2 = (r+56)(r+4)(r+26)(r+16).$

Тепер розкриємо дужки на правій стороні і спростимо вираз: $16r^2 = (r^2 + 60r + 896)(r^2 + 42r + 416).$

Розкриємо подвійні дужки: $16r^2 = r^4 + 102r^3 + 2908r^2 + 37472r + 374656.$

Тепер зведемо все в одне рівняння: $r^4 + 102r^3 + 2908r^2 + 37456r + 374656 - 16r^2 = 0.$

Скоротимо $r^2$ на обидві сторони: $r^4 + 102r^3 + 2884r^2 + 37456r + 374656 = 0.$

Це квартичне рівняння можна спростити за допомогою числових методів (наприклад, чисельного розв'язання або факторизації), оскільки аналітичний розв'язок досить складний і не завжди можливий.

Отже, за допомогою числових методів можна знайти або наблизити значення радіуса $r$.