Question

Высота BD равнобедренного треугольника ABC(AB=BC) делит его биссектрису AE на два отрезка, длины которых относятся как 23:13. Найти площадь треугольника ABC, если известно, что BD=12 см.

Answer 1

Пусть О — точка пересечения высоты BD и биссектрисы AE.

AO : OE = 23 : 13, BD = 12 см. По теореме Менелая для треугольника АЕС имеем $\dfrac{CD}{AD}\cdot \dfrac{AO}{OE}\cdot \dfrac{BE}{BC}=1$. Поскольку треугольник ABC равнобедренный, то BD является биссектрисой и медианой, т.е. AD = DC, тогда $\dfrac{23}{13}\cdot \dfrac{BE}{BC}=1$ (1).

По свойству биссектрисы: $\dfrac{CE}{BE}=\dfrac{AC}{AB}~~\Rightarrow~~\dfrac{BC}{BE}=\dfrac{AC}{AB}+1$.

По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника BDC:

$BC=\sqrt{CD^2+BD^2}=\sqrt{\Big(\dfrac{AC}{2}\Big)^2+12^2}=\dfrac{1}{2}\sqrt{AC^2+576}$

Подставляем в равенство (1), получим уравнение относительно АС.

$\dfrac{23}{13}\cdot \dfrac{1}{\dfrac{AC}{AB}+1}=1~\Rightarrow~\dfrac{23}{13}\cdot \dfrac{AB}{AC+AB}=1~\Rightarrow~ \dfrac{23}{13}\cdot \dfrac{\sqrt{AC^2+576}}{2AC+\sqrt{AC^2+576}}=1$

$23\sqrt{AC^2+576}=13\Big(2AC+\sqrt{AC^2+576}\Big)$

Решаете как иррациональное уравнение, возводите два раза обе части уравнения и вы должны придти к биквадратному уравнению , получите $AC=10$ см.

Площадь треугольника: $S=\dfrac{AC\cdot BD}{2}=\dfrac{10\cdot 12}{2}=60$ см²

Ответ: 60 см².

Answer 2

Обозначим точку пересечения высоты BD с биссектрисой AE как точку F. Также обозначим длину отрезка AF как x, а длину отрезка EF как y.

Согласно условию, длины отрезков AE и EF относятся как 23:13:

AE = 23k EF = 13k

Также известно, что BD = 12 см.

Теперь рассмотрим треугольник BDF. Мы знаем, что треугольник ABC равнобедренный, поэтому высота BD также является медианой. Это означает, что точка F делит медиану AE в отношении 2:1.

Таким образом, AF = 2x, и EF = x.

Теперь мы можем записать соотношение между длинами отрезков:

AE = AF + EF 23k = 2x + x 23k = 3x

Отсюда выразим x через k:

x = 23k / 3

Теперь мы можем выразить y через x:

EF = x = 23k / 3

Так как треугольник BDF - прямоугольный, мы можем использовать теорему Пифагора:

BD^2 = BF^2 + FD^2 12^2 = (2x)^2 + (EF)^2

Подставляем выражения для x и EF:

144 = (2 * 23k / 3)^2 + (23k / 3)^2

Упростим:

144 = 4 * 529k^2 / 9 + 529k^2 / 9 144 = (4 + 1) * 529k^2 / 9 144 = 5 * 529k^2 / 9

Теперь выразим k^2:

k^2 = 144 * 9 / (5 * 529) k^2 = 9 * 9 / 5 k^2 = 81 / 5

Теперь найдем площадь треугольника ABC:

Площадь ABC = (AB * BD) / 2 Площадь ABC = (2 * BD * BD) / 2 Площадь ABC = BD^2 Площадь ABC = 12^2 Площадь ABC = 144 см^2

Таким образом, площадь треугольника ABC равна 144 квадратным сантиметрам.