Question

Доведіть, що в опуклому чотирикутнику сума діагоналей менша відпериметра.​

Answer 1

Пусть ABCD - выпуклый четырехугольник с диагоналями AC и BD. Докажем, что AC + BD < P₄.

Воспользуемся неравенством треугольника: в треугольника любая сторона меньше двух других.

В ΔABС AC < AB + BC,

В ΔACD AC < AD + CD,

В ΔBCD BD < BC + CD,

В ΔABD BD < AB + AD.

Почленно сложим все четыре неравенства:

2AC + 2BD < 2AB + 2BC + 2AD + 2CD | : 2

AC + BD < AB + BC + CD + AD = P₄, что и требовалось доказать.

Answer 2

Розглянемо опуклий чотирикутник з вершинами A, B, C і D. Діагоналі цього чотирикутника будуть AC та BD. Для доведення того, що сума діагоналей менша за периметр, давайте використовуємо нерівність трикутника.

За нерівністю трикутника для будь-якого трикутника, довжина будь-якої сторони менше суми довжин двох інших сторін:

1. Для трикутника ABC: AB < AC + BC.
2. Для трикутника BCD: BC < BD + CD.
3. Для трикутника CDA: CD < AC + AD.
4. Для трикутника DAB: AD < BD + DA.

Тепер додамо ці нерівності:

AB + BC + CD + DA < AC + AC + BD + BD.

Зауважте, що AC - це сума діагоналей чотирикутника, а AB + BC + CD + DA - це його периметр. Отже, отримуємо:

Периметр < Сума діагоналей.

Це доводить, що сума діагоналей опуклого чотирикутника завжди менше його периметра.