Question

Через середину высоты равнобедренного треугольника проведены две прямые, соединяющие ее с вершинами основания. Какую часть площадь треугольника составляет каждая из шести частей, на которые эти прямые разрезают треугольник?

Answer 1

Ответ:

Дано:  ΔABC : AB=BC; BH⊥AC; BO=OH

Найти:  

ΔABC - равнобедренный, высота BH является медианой и биссектрисой

⇒   AH = HC  ⇒   ΔABH = ΔCBH - по двум катетам. Дальше можно рассматривать только одну половинку равнобедренного треугольника.

У треугольников  AOK и BOK  одинаковая высота  OM.  Поэтому их площади будут пропорциональны основаниям  AK и KB. Чтобы найти отношение АК:КВ, достроим треугольник ABH до прямоугольника ALBH. LB=AH;  AL=BH;   LB║AH;  AL║BH

∠AKL=∠OKB - вертикальные углы.

∠LAK=∠OBK - накрест лежащие углы при AL║BH и секущей АВ.  ⇒  

ΔAKL ~ ΔBKO  подобны по двум углам:

Ответ: площади двух треугольников при основании равны и составляют 1/4 часть площади равнобедренного треугольника;

площади двух треугольников при вершине равны и составляют 1/12 часть площади равнобедренного треугольника;

площади двух треугольников при боковых сторонах равны и  составляют 1/6 часть площади равнобедренного треугольника.

Answer 2

Рассмотрим данную задачу. Пусть у нас есть равнобедренный треугольник ABC, где AB = AC, и H - точка пересечения высот треугольника (точка, которая лежит на основании BC и является вершиной высоты, проведенной из вершины A). Мы проводим две прямые из точки H к вершинам основания BC.

Пусть P и Q - точки пересечения этих прямых с основанием BC. Таким образом, у нас есть шесть частей, на которые разбивается треугольник: треугольники APQ, AHP, BPQ, BHP, CHQ и CHP.

Так как треугольник ABC равнобедренный, высота H делит основание BC на две равные части, то есть BP = CQ.

Давайте рассмотрим площади каждой из шести частей:

1. Треугольник APQ: Он подобен треугольнику ABC по стороне (общая сторона AP) и углу (угол A). Значит, их площади пропорциональны квадратам соответствующих сторон, то есть площадь APQ / площадь ABC = (AP^2) / (AB^2).

2. Треугольник AHP: Он также подобен треугольнику ABC по стороне (общая сторона AH) и углу (угол A). Площадь AHP / площадь ABC = (AH^2) / (AB^2).

3. Треугольник BPQ: Он подобен треугольнику ABC по стороне (общая сторона BP) и углу (угол B). Площадь BPQ / площадь ABC = (BP^2) / (AB^2).

4. Треугольник BHP: Он также подобен треугольнику ABC по стороне (общая сторона BH) и углу (угол B). Площадь BHP / площадь ABC = (BH^2) / (AB^2).

5. Треугольник CHQ: Он подобен треугольнику ABC по стороне (общая сторона CH) и углу (угол C). Площадь CHQ / площадь ABC = (CH^2) / (AB^2).

6. Треугольник CHP: Он также подобен треугольнику ABC по стороне (общая сторона CH) и углу (угол C). Площадь CHP / площадь ABC = (CH^2) / (AB^2).

Таким образом, каждая из шести частей имеет площадь, пропорциональную квадрату длины высоты H к квадрату длины стороны AB. То есть, площади всех шести частей будут пропорциональны отношению (H^2) / (AB^2).