Question

Найдите объём тела, полученного в результате вращения четырехугольника свершинами в точках A(0; 0), B(0; 2), C(4; 2) иD(1; 0) вокруг оси Ox.​

Answer 1

Ответ:

$12\pi$

Объяснение:

Тело представлено на картинке 1

Объем полученного тела будет равен разности объемов цилиндра и конуса (см картинку 2).

(Далее смотри картинку 3)

1) Объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту.

Высота - BC = 4

Площадь основания $\pi AB^{2} = 4\pi$

Объем цилиндра = $4* 4\pi = 16\pi$

2)Объем конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту.

Площадь основания равна площади основания цилиндра и равна $4\pi$

Высота конуса - DE = 3

Объем конуса = $\frac{1}{3} * 3 * 4\pi = 4\pi$

3) Объем полученной фигуры: $16\pi - 4\pi = 12\pi$

============            

Не забывайте нажать "Спасибо", поставить оценку и, если ответ удовлетворил, то выберите его как "Лучший"      

Бодрого настроения и добра!  

Успехов в учебе!

Answer 2

///////////////////////////////////////////////

Answer 3

Для нахождения объема тела, полученного в результате вращения четырехугольника вокруг оси Ox, мы можем воспользоваться методом цилиндрических оболочек.

Сначала определим, как выглядит четырехугольник на координатной плоскости. У нас есть точки A(0, 0), B(0, 2), C(4, 2) и D(1, 0). Эти точки образуют четырехугольник ABCD.

Чтобы получить площадь поперечного сечения четырехугольника, проведем вертикальные элементы площади от оси Ox до границы четырехугольника. Это создаст поперечное сечение в виде трапеции.

Так как мы вращаем вокруг оси Ox, то наше поперечное сечение будет образовывать цилиндр. Радиус цилиндра будет равен y (расстояние от точки на кривой до оси Ox), а высота цилиндра будет равна dx (маленькому изменению x, которое создает поперечное сечение).

Площадь элементарной поверхности цилиндра dS = 2πy * dx (по формуле площади боковой поверхности цилиндра).

Теперь интегрируем это по всем значениям x, чтобы найти объем:

V = ∫(от a до b) dV V = ∫(от a до b) 2πy * dx

Границы интегрирования a и b будут зависеть от того, в каких пределах находятся x-координаты четырехугольника.

Теперь нам нужно найти выражение для y в зависимости от x. Это можно сделать, используя уравнения прямых, образованных точками A, B и C, D.

Уравнение прямой AB (вертикальная линия) будет x = 0. Уравнение прямой CD (наклонная линия) можно найти, используя две точки: (1, 0) и (4, 2): y = mx + b m = (2 - 0) / (4 - 1) = 2/3 Используя точку (1, 0): 0 = (2/3) * 1 + b b = -2/3 Таким образом, уравнение CD: y = (2/3)x - 2/3.

Теперь можем интегрировать: V = ∫(от 0 до 1) 2πy * dx + ∫(от 1 до 4) 2πy * dx

Для первой интеграции используем y = 0: V = ∫(от 0 до 1) 0 * dx + ∫(от 1 до 4) 2π((2/3)x - 2/3) dx V = ∫(от 1 до 4) 4π/3 * x - 4π/3 dx V = [4π/3 * (x^2) - 4π/3 * x] от 1 до 4 V = 4π/3 * (16 - 4) - (4π/3 * (1 - 1)) V = 4π * 4 - 0 V = 16π

Таким образом, объем тела, полученного в результате вращения четырехугольника вокруг оси Ox, равен 16π единицам объема.