Question

Дана правильная треугольная пирамида со стороной основания 12. Боковое ребро пирамиды наклонено к плоскости основания под углом 30°. Найдите объем описанного около пирамиды конуса.

Answer 1

Ответ:

$64\pi$ см³.

Объяснение:

Обозначим данную пирамиду буквами $SABC.$

$AB = 12$ см.

Проведём высоту пирамиды SO.

$\angle SAO = 30^{\circ}$

Начертим около этой пирамиды конус.

Так как конус описан около данной пирамиды, то высота конуса совпадает с высотой данной пирамиды.

=======================================================

Так как данная пирамида - правильная, треугольная ⇒ основание данной пирамиды - правильный треугольник.

$\Rightarrow AB = BC = AC = 12$ см.

Проведём высоту $AH$ в $\triangle ABC$

$\triangle SAO$ - прямоугольный, так как $SO$ - высота пирамиды.

$\triangle ABH$ - прямоугольный, так как $AH$ - высота $\triangle ABC$.

Так как $\triangle ABC$ - равносторонний ⇒ $AH$ - высота, медиана и биссектриса

$BH = HC = BC:2 = 12:2 = 6$ см, так как $AH$ - медиана.

Найдём $AH$ по теореме Пифагора $(a^2 = c^2 - b^2)$.

$AH = \sqrt{AB^2 - BH^2} = \sqrt{12^2 - 6^2} = \sqrt{108} = 6\sqrt{3}$ см.

Точка $O$ - пересечение медиан и делит их в отношении $2:1$, считая от вершины.

$\Rightarrow AO = 2/3\cdot AH = 2/3 \cdot 6\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$ см

$OH = 1/3\cdot AH = 1/3 \cdot 6\sqrt{3} = 2\sqrt{3}$ см.

Также $AO$ - радиус описанной около $\triangle ABC$ окружности.

Рассмотрим $\triangle SAO$

Если угол в прямоугольном треугольнике равен $30^{\circ}$, то напротив лежащий катет равен половине гипотенузы.

$\Rightarrow SA = 2SO$

Составим уравнение:

Пусть $x - SO$, тогда $2x - SA$.

И по теореме Пифагора $(c^2 = a^2 + b^2).$

$(4\sqrt{3})^2 + x^2 = (2x)^2\\\\48 + x^2 = 4x^2\\\\-3x^2 =-48\\\\x^2 =16 \\\\x= 4$

$V$ конуса = $1/3 \cdot \pi \cdot AO^2 \cdot SO = \pi \Big(1/3 \cdot (4\sqrt{3})^2 \cdot 4\Big) = 64\pi$ см³.

Answer 2

Чтобы найти объем описанного около пирамиды конуса, мы можем воспользоваться формулой для объема конуса:

$V_{конуса} = \frac{1}{3} \pi r^2 h,$

где $r$ - радиус основания конуса, $h$ - высота конуса.

Для начала, определим радиус $r$ основания конуса. Мы знаем, что основание пирамиды - правильный треугольник со стороной 12. Если мы проведем медиану из вершины треугольника к середине его стороны, то получится прямоугольный треугольник, в котором угол между медианой и стороной треугольника будет составлять 30° (половина угла наклона бокового ребра пирамиды). Длина половины стороны основания прямоугольного треугольника будет равна $\frac{12}{2} = 6$, а высота этого треугольника (или медиана) будет равна $h_{медианы} = 6 \sqrt{3}$.

Теперь, для нахождения высоты конуса $h$, нужно определить расстояние от вершины пирамиды до вершины конуса. Это можно сделать, используя подобие треугольников. Для этого рассмотрим прямоугольный треугольник, в котором один из катетов - это половина стороны основания пирамиды (6), а гипотенуза - боковое ребро пирамиды. Так как угол между гипотенузой и одним из катетов составляет 30°, то другой катет (высота конуса) можно найти как $h = 6 \cdot \tan(30°)$.

Теперь мы можем подставить полученные значения радиуса $r$ и высоты $h$ в формулу для объема конуса:

$V_{конуса} = \frac{1}{3} \pi (6)^2 \cdot (6 \cdot \tan(30°)).$

После вычислений:

$V_{конуса} = \frac{1}{3} \pi \cdot 36 \cdot 6 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = 72 \pi.$

Таким образом, объем описанного около пирамиды конуса составляет $72 \pi$ единиц^3.