Question

четырёхугольник ABCD является одновременно вписанным и описанным.Пусть M,N,P и Q-точки касания вписанной окружности со сторонами четырехугольника.Докажите что MP перпендикулярен NQ

Answer 1

O - центр вписанной окружности.

Радиус в точку касания перпендикулярен касательной.

OMA=ONA=90 => A+O=180 => A+∪MN=180

Аналогично С+∪PQ=180

Сумма противоположных углов вписанного четырехугольника 180.

A+C=180 => ∪MN+∪PQ=180 => MPN+PNQ=90 => T=90

Answer 2

Ответ:

Дуги MQN и QMP, если подумать равны 540 градусам, тк их градусная мера равна 2 кругам, из которых вырезали 180 градусов (как раз сумму углов MBN и QDP)

Объяснение:

Answer 3

Давайте рассмотрим данное утверждение подробнее. Поскольку четырёхугольник ABCD является и вписанным, и описанным, то его внутренние углы равны половине соответствующих дуг на окружности.

Обозначим углы как следует:

• Угол BAD = α
• Угол ADC = β
• Угол ABC = γ
• Угол BCD = δ

Теперь мы можем выразить меры этих углов через соответствующие дуги на окружности. Так как ABCD описан вокруг окружности, то:

• Дуга BC = Дуга AD = α + β
• Дуга AB = Дуга CD = γ + δ

Поскольку ABCD также вписан в окружность, у нас есть:

• Угол ABC = Угол ADC = α + β
• Угол BCD = Угол BAD = γ + δ

Теперь обратим внимание на точки касания вписанной окружности. По определению, сегменты, соединяющие точку касания с вершинами четырёхугольника, являются радиусами окружности, а значит, они перпендикулярны к сторонам, к которым они проведены.

Пусть I - центр вписанной окружности. Мы знаем, что MI, NI, PI и QI - это радиусы окружности, проведённые к точкам касания M, N, P и Q со сторонами четырёхугольника. Таким образом, MI ⊥ AB, NI ⊥ BC, PI ⊥ CD и QI ⊥ AD.

Из этого следует, что углы MIN и NIQ являются прямыми углами. Поскольку угол MIN является углом между радиусами в одной точке касания, он равен половине дуги MN на окружности, и то же самое касается угла NIQ и дуги NQ.

Таким образом, у нас есть следующие равенства углов:

• Угол MIN = (1/2) * Дуга MN
• Угол NIQ = (1/2) * Дуга NQ

Но мы знаем, что:

• Дуга MN = Дуга NQ (по определению вписанного угла)
• Таким образом, угол MIN = угол NIQ

Из этого следует, что углы MIN и NIQ равны между собой, и поскольку они являются прямыми углами, отрезки MP и NQ перпендикулярны друг другу:

MP ⊥ NQ

Таким образом, мы доказали, что отрезки MP и NQ перпендикулярны друг другу, как и требовалось доказать.