Question

Диагональ AC параллелограмма ABCD равна 5 и образует со сторонами углы и , один из которых тупой. Найдите площадь параллелограмма ABCD, если синус альфа = 12/13 и синус бета = 8/17 Ответ округлите до сотых.

Answer 1

α-тупой угол, диагональ АС разбивает параллелограмм на два равных треугольника, в треугольнике АВС есть три угла α;β; (180-(α+β)); sin(180-(α+β))=sin(α+β)=sinα*cosβ+sinβ*cosα

cosβ=√(1-sin²β)=√(1-64/289)=√(225/289)=15/17;  

cosα=-√(1-sin²α)=-√(1-144/169)=-√(25/169)=-5/13;

sin(α+β)=(12/13)*(5/17)-(8/17)*(5/13)=(60-40)/(17*13)=20/(17*13);

По следствию из теоремы синусов АС/sin(180-(α+β))=BC/sinα=AB/sinβ;

5/(20/17*13)= BC/sinα;  BC=5*17*13*12/(13*20)=51

5/(20/17*13)=AB/sinβ; АВ=5*17*13*8/(17*20)=26

Значит, площадь равна АВ*АС*sin(α+β)=51*26*(20/17*13)=120

Ответ 120,00

Посмотрел на задание, которое Вам предложили в качестве решения в комментариях. Проверил. Ответ тот же. )

Answer 2

Давайте обозначим угол между диагональю AC и стороной AB как α, а угол между диагональю AC и стороной BC как β.

По условию у нас есть следующие данные:

• Синус α = 12/13
• Синус β = 8/17
• Диагональ AC = 5

Мы знаем, что синус угла можно выразить как отношение противолежащего катета к гипотенузе. В данном случае, мы можем использовать это свойство для нахождения длин сторон параллелограмма.

Для этого давайте обозначим длину стороны AB как a, длину стороны BC как b, а высоту, опущенную на сторону AB, как h.

Из треугольника ABC мы можем записать: sin(α) = h / b h = b * sin(α)

Из треугольника ACD мы можем записать: sin(β) = h / a h = a * sin(β)

Приравнивая выражения для h, получаем: b * sin(α) = a * sin(β)

Теперь мы можем найти длины сторон a и b: a = (b * sin(α)) / sin(β)

Подставляя значения синусов α и β: a = (b * 12/13) / (8/17) a = (17 * b * 12) / (13 * 8) a = (34/13) * b

Теперь мы можем найти площадь параллелограмма ABCD, используя формулу: Площадь = a * AC = (34/13) * b * 5

Осталось выразить b через a с помощью уравнения площадей параллелограммов ABCD и ACD: Площадь_ABCD = Площадь_ACD (34/13) * b * 5 = a * 5 b = (13/34) * a

Теперь можем подставить это значение b в выражение для площади: Площадь_ABCD = (34/13) * b * 5 = (34/13) * (13/34) * a * 5 = 5 * a

Площадь_ABCD = 5 * a = 5 * ((34/13) * b) = 5 * (34/13) * (13/34) * a = a

Таким образом, площадь параллелограмма ABCD равна площади прямоугольника со стороной a.

Площадь_ABCD = a = (34/13) * b = (34/13) * (13/34) * a = a

Теперь, подставив числовые значения синусов α и β, можем вычислить численное значение площади:

Площадь_ABCD = a = (34/13) * b ≈ (34/13) * (13/34) ≈ 1

Итак, площадь параллелограмма ABCD округленно до сотых равна 1.