Question

Точка M лежит на стороне AC, точка D - на стороне BC треугольника ABC. Отрезки AD и BM пересекаются в точке O, при этом AO : OD = 6 : 7 и BO : OM = 10 : 3. Найдите отношения AM : MC и BD : DC.

Answer 1

Ответ: 3:7 и 1:1

Объяснение:

Answer 2

Для нахождения отношений AM : MC и BD : DC, давайте воспользуемся свойством подобных треугольников.

Поскольку точки O, A и D лежат на одной прямой, можно применить теорему Менелая к треугольнику ABC, используя отрезки AD и BM как пересекающиеся отрезки. Также, учитывая данное условие: AO : OD = 6 : 7, BO : OM = 10 : 3.

Мы можем записать теорему Менелая следующим образом:

$$\frac{AM}{MB} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CO}{OA} = 1.$$

Заметим, что $\frac{AM}{MB} = \frac{AO + OM}{BO + MO}$ и $\frac{CO}{OA} = \frac{CM + MO}{AO}$. Подставляя данные значения и выражения, получаем:

$$\frac{AO + OM}{BO + MO} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CM + MO}{AO} = 1.$$

Подставляем известные значения: AO : OD = 6 : 7 и BO : OM = 10 : 3:

$$\frac{\frac{6}{7}OD + OM}{BO + OM} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CM + OM}{\frac{6}{7}OD} = 1.$$

Сокращаем и упрощаем:

$$\frac{6OD + 7OM}{10OM + 7OD} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{7OD + 7OM}{6OD} = 1.$$

Сокращаем еще:

$$\frac{6OD + 7OM}{10OM + 7OD} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{7(OD + OM)}{6OD} = 1.$$

Теперь можем выразить $\frac{BD}{DC}$:

$$\frac{BD}{DC} = \frac{10OM + 7OD}{6OD + 7OM} \cdot \frac{6OD}{7(OD + OM)}.$$

Раскроем скобки:

$$\frac{BD}{DC} = \frac{10OM}{7(OD + OM)} \cdot \frac{6OD}{6OD + 7OM}.$$

Используя данное выражение, мы можем найти $\frac{AM}{MC}$, так как:

$$\frac{AM}{MC} = \frac{AM}{MB} \cdot \frac{BD}{DC} = \frac{AO + OM}{BO + MO} \cdot \frac{BD}{DC}.$$

Подставляем значение $\frac{BD}{DC}$:

$$\frac{AM}{MC} = \frac{AO + OM}{BO + MO} \cdot \frac{10OM}{7(OD + OM)} \cdot \frac{6OD}{6OD + 7OM}.$$