Question

Меньшая диагональ ромба 16√3 см, а острый угол равен 60 градусов. Найдите радиус вписанной окружности и площадь ромба.

Answer 1

Формула радиуса вписанной окружности в ромб: r = Dd/4а, где D, d –   диагонали ромба, а – его сторона.

По условию меньшая диагональ – 16√3 см, тогда половина данной диагонали – 8√3.

Так как острый угол равен 60°, то диагональ делит его на два угла по 30°. Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы, тогда гипотенуза, она же сторона ромба, равна 16√3.

Треугольник, образованный двумя сторонами ромба и меньшей диагональю – равносторонний. Найдем высоту, она же половина большей диагонали, по формуле:

h = а√3/2 = 16√3·√3 / 2 = 8·3 = 24 см

Тогда большая диагональ D = 24·2 = 48 см

r = Dd/4а = 48·16√3 / 4·16√3 = 12 см

Площадь ромба равна половине произведения длин его диагоналей:

S = 1/2 d₁d₂ = 1/2 Dd = 1/2·48·16√3 = 384√3 см²

Ответ: r = 12 см; S = 384√3 см²

Answer 2

Чтобы решить эту задачу, мы можем воспользоваться свойствами ромба и треугольника, вписанного в ромб.

1. Радиус вписанной окружности (r): Радиус вписанной окружности ромба связан с его меньшей диагональю и углом между сторонами ромба. Мы можем использовать следующую формулу:

   $r = \frac{d}{2} \cdot \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)$,

   где $d$ - длина меньшей диагонали, $\alpha$ - острый угол ромба.

   Подставляя значения из задачи: $d = 16\sqrt{3}$ см, $\alpha = 60^\circ$,

   $r = \frac{16\sqrt{3}}{2} \cdot \tan\left(\frac{60^\circ}{2}\right) = 8\sqrt{3} \cdot \tan\left(30^\circ\right) = 8\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = 8 \, \text{см}$.

2. Площадь ромба (S): Площадь ромба можно выразить как половину произведения диагоналей:

   $S = \frac{d_1 \cdot d_2}{2}$,

   где $d_1$ - большая диагональ, $d_2$ - меньшая диагональ.

   Подставляя значение $d_2 = 16\sqrt{3}$ см:

   $S = \frac{16\sqrt{3} \cdot d_1}{2}$.

   Мы знаем, что в ромбе меньшая диагональ делит большую диагональ пополам, и при этом образует прямоугольный треугольник с углом $\alpha = 60^\circ$. Таким образом, большая диагональ будет вдвое больше меньшей диагонали:

   $d_1 = 2 \cdot 16\sqrt{3} = 32\sqrt{3}$ см.

   Теперь подставляем это значение в формулу для площади:

   $S = \frac{16\sqrt{3} \cdot 32\sqrt{3}}{2} = 256 \, \text{см}^2$.

Итак, радиус вписанной окружности равен 8 см, а площадь ромба составляет 256 см².