Question

б) В треугольнике `ABC` биссектриса `AD` делит сторону `BC` в отношении `BD:DC=1:3`. Медиана `BM` пересекает биссектрису `AD` в точке `O` Найдите отношения `BO:OM` и `AO:OD`. в) В равнобедренном треугольнике `ABC` биссектриса `CK` равна основанию `AC`. Найдите углы треугольника `ABC`. г) Радиус окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, составляет `2//7` его высоты к основанию. Периметр треугольника равен `28`. Найдите стороны. (Используйте свойство биссектрисы треугольника).

Answer 1

Ответ:

б) BO : OM = 2 : 3, AO : OD = 4 : 1:

в) углы при основании - по 72°, угол при вершине - 36°;

г) боковые стороны - по 10, основание - 8.

Объяснение:

Решение б) - в первом приложении, в) и г) - во втором.

Answer 2

Давайте рассмотрим каждую часть вашего вопроса:

б) В треугольнике ABC биссектриса AD делит сторону BC в отношении BD:DC=1:3. Медиана BM пересекает биссектрису AD в точке O. Найдем отношения BO:OM и AO:OD.

Пусть BD = x, тогда DC = 3x (согласно заданному отношению). Обозначим также AM = MD = y. Так как медиана разбивает сторону пополам, то BM = 2y.

Теперь посмотрим на треугольник ABD. Из заданного отношения BD:DC = 1:3 следует, что AD является биссектрисой угла BAC, и мы можем использовать теорему о биссектрисе:

AD/AB = DC/BC AD/(AD + BD) = DC/(DC + BC) AD/(AD + x) = 3x/(3x + AD + x) AD = 3x(AD + x) AD = 3xAD + 3x^2 2xAD = 3x^2 AD = (3/2)x

Теперь мы можем выразить отношения AO:OD и BO:OM:

AO/OD = AD/MD AO/OD = (3/2)x/y

BO/OM = BD/DM BO/OM = x/y

в) В равнобедренном треугольнике ABC биссектриса CK равна основанию AC. Найдем углы треугольника ABC.

Поскольку биссектриса CK равна основанию AC, это означает, что треугольник ACK равнобедренный. Следовательно, угол A = угол C.

Теперь рассмотрим треугольник ABC. У нас уже есть равенство углов A и C. Поскольку сумма углов треугольника равна 180°, угол B = (180° - 2 * угол A) / 2.

г) Радиус окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, составляет 2/7 его высоты к основанию. Периметр треугольника равен 28. Найдем стороны треугольника.

Обозначим высоту треугольника как h, а основание как b. Тогда радиус вписанной окружности (r) будет равен (2/7)h. Периметр треугольника P равен сумме всех трех сторон:

P = a + b + c

Так как треугольник равнобедренный, a = c. Тогда:

P = 2a + b

Подставляя радиус вписанной окружности (r) как (2/7)h, получаем:

P = 2a + b = 2r + b = (4/7)h + b

Известно, что P = 28, следовательно:

(4/7)h + b = 28

Также, используя свойство биссектрисы, можно заметить, что биссектриса разделяет основание треугольника на две части в отношении b : b = 1 : 1.

Следовательно, (4/7)h = 28 - b

Теперь мы можем решить систему уравнений:

(4/7)h = 28 - b (4/7)h + b = 28

Решая эту систему, мы можем найти значения h и b, а затем найти стороны треугольника.