Question

Возможно ли, чтобы одна из биссектрис треугольника делила пополам другую? Приведите пример такого треугольника или докажите, что его не существует.

Answer 1

Ответ ; НЕТ

Решение:

Предположим, что биссектриса внутреннего угла A треугольника ABC делит пополам биссектрису BK этого треугольника. Тогда треугольник BAK – равнобедренный, так как биссектриса его внутреннего угла A является медианой. Значит,  ∠AKB = ∠ABK = ∠CBK,  что невозможно, так как AKB – внешний угол треугольника CBK.

Answer 2

Да, возможно, чтобы одна из биссектрис треугольника делила пополам другую. Вот пример такого треугольника:

Рассмотрим прямоугольный треугольник со сторонами 5, 12 и 13. Пусть биссектриса, исходящая из угла противоположного гипотенузе, делит биссектрису, исходящую из прямого угла, пополам.

Один из углов прямоугольного треугольника равен 90 градусов. Поэтому половина этого угла будет равна 45 градусам. Значит, биссектриса, исходящая из прямого угла, будет делить противоположную ей сторону пополам.

Теперь рассмотрим биссектрису, исходящую из угла противоположного гипотенузе. Так как треугольник является прямоугольным, этот угол равен 45 градусам. Таким образом, биссектриса, исходящая из угла противоположного гипотенузе, также будет делить противоположную ей сторону пополам.

Таким образом, в прямоугольном треугольнике со сторонами 5, 12 и 13, одна из биссектрис действительно делит пополам другую.

Это только один пример, и в общем случае существуют и другие треугольники, где одна из биссектрис может делить пополам другую.