Question

Дан треугольник с координатами вершин А(4;0;0), B(0;4;0). Вершина C треугольника лежит на положительной полуоси Oz. Найдите длину медианы CM, если AB^2/CB^2=2/5 ​

Answer 1

Пусть координата точки С равна (0; 0; z).

АВ² = 4² + 4² = 16 + 16 = 32.

АВ = √32 = 4√2.

Из заданного соотношения AB^2/CB^2=2/5  находим:

СВ² = АВ²*5/2 = 32*5/2 = 80.

Из треугольника СОВ имеем: z² + 4² = 80.

Отсюда z² = 80 - 16 = 64. z = +√64 = 8.

Проекция искомой медианы на плоскость хОу равна половине АВ как гипотенузы в равнобедренном прямоугольном треугольнике.

То есть ОМ = 2√2.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник СОМ.

Из него находим:

СМ = √(z² + ОМ²)  =√(64 + (2√2)² = √(64 + 8) = √72 = 6√2.

Ответ: СМ = 6√2.

​

Answer 2

Для начала, давайте найдем координаты вершины C треугольника. Мы знаем, что она лежит на положительной полуоси Oz, поэтому ее координаты будут (0, 0, z), где z - положительное число.

Теперь, длина медианы CM может быть найдена с использованием координат вершин A, B и C. Длина медианы из вершины C может быть вычислена по формуле:

CM = sqrt((Cx + Ax)/2)^2 + ((Cy + Ay)/2)^2 + ((Cz + Az)/2)^2),

где (Cx, Cy, Cz) - координаты вершины C, (Ax, Ay, Az) - координаты вершины A.

Подставим координаты вершин A и C:

Cx = 0, Cy = 0, Cz = z, Ax = 4, Ay = 0, Az = 0.

Теперь можем вычислить длину медианы CM:

CM = sqrt((0 + 4)/2)^2 + ((0 + 0)/2)^2 + ((z + 0)/2)^2 = sqrt(2^2 + 0^2 + (z/2)^2) = sqrt(4 + z^2/4) = sqrt(4z^2 + z^2)/4 = sqrt(5z^2)/4 = (z * sqrt(5))/4.

У нас также дано, что (AB^2) / (CB^2) = 2/5:

AB^2 = (Ax - Bx)^2 + (Ay - By)^2 + (Az - Bz)^2 = (4 - 0)^2 + (0 - 4)^2 + (0 - 0)^2 = 16 + 16 = 32,

CB^2 = (Cx - Bx)^2 + (Cy - By)^2 + (Cz - Bz)^2 = (0 - 0)^2 + (0 - 4)^2 + (z - 0)^2 = 16 + z^2.

Подставим это значение в отношение:

(AB^2) / (CB^2) = 32 / (16 + z^2) = 2/5.

Теперь решим уравнение относительно z:

32 / (16 + z^2) = 2/5,

Перекрестное умножение:

32 * 5 = 2 * (16 + z^2),

160 = 32 + 2z^2,

2z^2 = 160 - 32,

z^2 = 128 / 2 = 64,

z = sqrt(64) = 8.

Теперь, подставим значение z в формулу для длины медианы:

CM = (z * sqrt(5))/4 = (8 * sqrt(5))/4 = 2 * sqrt(5).

Итак, длина медианы CM равна 2 * sqrt(5).